- •Определение сходимости числового ряда. Свойства сходящихся рядов. Числовые ряды
- •Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •Ряды с неотрицательными членами. Достаточные признаки сходимости: признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак.
- •Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости знакопеременного абсолютно сходящегося ряда. Абсолютно сходящиеся ряды. Условно сходящиеся ряды.
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •Тема 2. Степенные ряды
- •Степенные ряды. Интервал, радиус сходимости.
- •Свойства степенных рядов.
- •Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Разложение функции в степенные ряды
- •Применение степенных рядов для приближенных вычислений: интегрирование функций, вычисление пределов.
- •Тема 3. Дифференциальные уравнения
- •Общее и частное решения дифференциального уравнения. Общий и частный интегралы.
- •Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение, разрешенное относительно производной.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, приводящиеся к ним.
- •Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
- •Дифференциальные уравнения второго порядка. Общее и частное решения. Общий и частный интегралы.
- •Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Вид общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения по правой части (метод неопределенных коэффициентов).
- •Задача Коши и краевая задача для уравнения второго порядка.
- •Простейшие интегрируемые дифференциальные уравнения высших порядков.
- •Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
- •Применение дифференциальных уравнений в экономике.
Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости знакопеременного абсолютно сходящегося ряда. Абсолютно сходящиеся ряды. Условно сходящиеся ряды.
Обобщенный геометрический ряд
при а>1 является сходящимся
а≤1 ряд расходящийся
Признаки Коши:
Пусть для числового ряда с положительными членами существует =λ
Тогда:
А) если λ<1, то ряд сходится
Б) если λ1, то ряд расходится
Пример:
Для числового ряда с положительными членами
Найдем предел
= = = <1
Знакопеременные ряды:
Знакопеременным называется числовой ряд , содержащий бесконечно много положительных слагаемых и бесконечно много отрицательных слагаемых.
Числовой ряд является знакопеременным.
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.
(A1) + (A2) +…+(An)= () – это модуль
Абсолютно сходящимся называется знакопеременный ряд , для которого ряд, составленный из модулей его членов, , является сходящимся.
Условно сходящимся, называется сходящийся знакопеременный ряд, составленный из модулей его членов , расходится.
Пример:
Знакопеременный ряд является абсолютно сходящимся, так как ряд сходится.
Знакочередующий ряды:
Знакочередующимся называется числовой ряд
А1-а2+а3-…(-1)n+1an= an
Где an>0 для всех n∈N
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Признак Лейбница.
Знакочередующий ряд an сходится, если a1a2>…>an>
Пример:
Знакочередующий ряд
1- удволетворяет условиям признака Лейбница, поэтому он сходится. Однако ряд из модуля его членов 1- является гармоническим и расходящимся. Таким образом исходный ряд является сходящимся.
Тема 2. Степенные ряды
Степенные ряды. Интервал, радиус сходимости.
Степенным рядом называется ряд вида
C0+C1X+C2X2+CnXn+…= , где cn – некоторые числа, Х-переменная. Коэффициентом степенного ряда называется числа С0,С1,…,Сn,…
Пример:
1+х+х2+…+хn+…= степенной ряд, все его коэффициенты равны 1. При каждом конкретном значении переменной степенной ряд становится числовым рядом, к которому применены все понятия и результаты, в частности, понятия абсолютной сходимости. Областью сходимости степенного ряда называется множества всех значений переменной х, при которых соответствующий числовой ряд сходится.
Степенной ряд в предыдущим примере является бесконечной суммой членов геометрической прогрессии со знаменателям Х. его частная сумма Sn= Эта сумма имеет конечный предел при <1. Поэтому область сходимости исходного ряда является интервал (-1;1)
Свойства степенных рядов.
Теорема Абеля
Если степенной ряд сходится при некотором значении х=х0≠0, то он сходится абсолютно при всех значениях
Если степенной ряд расходится при х=х1, то он расходится при всех значениях х, таких что
Из теоремы Абеля следует, что существует такоe число R≥0, что при R сходится, а при >R ряд расходится. Вопрос о сходимости ряда при х=±R требует дополнительных исследований. Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R≥0, что ряд сходится при <R и расходится при >R. Радиусом сходимости степенного ряда, при Сn≠≠0 находится по формуле