11. Задача Коши и краевая задача для уравнения второго порядка.

Для однозначного определения решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо задать два условия, чтобы найти неопределенные постоянные C₁ и C₂ . Здесь возможны два случая:

1.Задача Коши, когда согласно теореме 9.2. в одной точке задаются значения искомой функции и ее производной (2 начальных условия).

2.Краевая задача, когда в конечных точках интервала решения задается по одному условию (2 граничных условия). Например, x=x; y=y₁; x=x₂; y=y₂.

Пример. Найти решение уравнения,

y’’-5y’+4y=8

Удовлетворяющее условиям

x=0; y=1; x=ln2; y=2.

Общее решение такого уравнения:

y=C₁e^x+C₂e^4x, т.к.характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид

k²-5k+4=0

Его корни вещественные и различны.

k₁=1; k₂=4. Исходя из краевой части f(x)=8. Частное решение данного неоднородного уравнения имеем в виде константы ȳ=C. Подставляя это решение в уравнение, получаем C=2

C₁ +C₂= -1 Из этой системы находим C₂ = 1/3; C₁ = -4/3

2C₁+4C₂=0

11. Простейшие интегрируемые дифференциальные уравнения высших порядков.

11. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.

Когда для равнения y’=f (x,y) требуется решать задачу Коши при начальном условии y/x=x₀=y₀, решение можно искать с помощью ряда Тейлора

_∞

y= E yⁿ(x₀)/ n! * (x-x₀)ⁿ , где

ⁿ⁼⁰

y(x₀), y’(x₀) = f (x₀,y₀), а дальнейшие производные yⁿ(x₀) находят последовательным дифференцированием исходного уравнения и подстановкой в результат дифференцирования вместо x, y, y’ значений

x₀, y₀, y₀’ и всех остальных найденных последующих производных. Аналогично с помощью ряда Тейлора можно интегрировать и уравнения высших порядков.

Пример. Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейлора уравнение

y’=x²+y², y(0) = 1.

Взяв вместо первых членов разложения, отличных от нуля.

Из уравнения начальных условий находим y’-0²+1²=1. Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем:

y’’=2x+2yy’

y’’’=2+2y’²+2yyⁿ

y’^ѵ=6y’y’’+2yy’’’

y^ѵ=6y’’²+8y’y’’’+2yy’^ѵ

Полагая x=0 и используя значения y(0)=1, y’’(0)=1 последовательно находим y’’(0)=2, y’’’(0)=8, y^ѵ (0)=144.

Искомое решение имеет вид:

y=1+x/1!+2x²/2!+8x³/3!+28x⁴/4!+144x⁵/5!+…

11. Применение дифференциальных уравнений в экономике.

Математическое моделирование экономических и природных процессов приводит к необходимости решения уравнений, которые кроме независимых переменных и зависимых от них искомых функций, содержат также производные или дифференциалы от неизвестных функций. Такие уравнения называются дифференциальными.

Дифференциальные уравнения широко используются в моделях экономической динамики, в которых исследуются не только зависимость переменных от времени, а и от их взаимосвязи во времени. Такими моделями являются: модель Эванса - установления уравновешенной цены на рынке одного товара; а также динамическая модель экономического роста, известная под названием «базовая модель Солоу».

В модели Эванса рассматривается рынок одного товара, время считается непрерывным. Пусть d(t), s(t), p(t) – спрос, предложение и цена соответственно этому товару на момент времени t. Допустим, что спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть d(p)=a-bp, a,b>0 – спрос с возрастанием цены падает, а s(p)=α+βp,α,β>0 – предложение с возрастанием цены возрастает. Природным является соотношение а> α, то есть при нулевой цене спрос превышает предложение.

Модель Солоу рассматривает экономику как единое целое (без структурных подразделений). Эта модель достаточно адекватно отображает самые важные макроэкономические аспекты процесса производства.

Важно отметить, что для проверки правильности математической модели очень важны теоремы существования решений соответствующих дифференциальных уравнений, так как математическая модель не всегда адекватна конкретному явлению и из существования решения реальной задачи (физической, химической, биологической) не следует существование решения соответствующей математической задачи.

В настоящее время важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений играет применение современных электронных вычислительных машин. Исследование дифференциальных уравнений часто облегчает возможность провести вычислительный эксперимент для выявления тех или иных свойств их решений, которые потом могут быть теоретически обоснованы и послужат фундаментом для дальнейших теоретических исследований.

Итак, первая черта теории дифференциальных уравнений - ее тесная связь с приложениями. Другими словами, можно сказать, что теория дифференциальных уравнений родилась из приложений.

Второй особенностью теории дифференциальных уравнений является ее связь с другими разделами математики, такими, как функциональный анализ, алгебра и теория вероятностей.

При изучении конкретных дифференциальных уравнений, возникающих в процессе решения физических задач, часто создавались методы, обладающие большой общностью и применявшиеся без строгого математического обоснования к широкому кругу математических проблем. Такими методами являются, например, метод Фурье, метод Ритца, метод Галёркина, методы теории возмущений и другие. Эффективность применения этих методов явилась одной из причин попыток их строгого математического обоснования. Это приводило к созданию новых математических теорий, новых направлений исследований.

В настоящее время теория дифференциальных уравнений с частными производными представляет собой богатую, сильно разветвленную теорию. Построена теория краевых задач для эллиптических операторов на основе недавно созданного нового аппарата - теории псевдодифференциальных операторов, решена проблема индекса, изучены смешанные задачи для гиперболических уравнений.

В последние десятилетия возник и интенсивно развивается новый раздел теории уравнений с частными производными - теория усреднения дифференциальных операторов. Эта теория возникла под влиянием задач физики, механики сплошной среды и техники, в частности, связанных с изучением композитов (сильно неоднородных материалов, широко используемых в настоящее время в инженерной технике), пористых сред, перфорированных материалов.

Таким образом, дифференциальные уравнения в настоящее время представляют собой труднообозримую совокупность фактов, идей и методов, очень полезных для приложений и стимулирующих теоретические исследования во всех других разделах математики. Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения.