11. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение, разрешенное относительно производной.

Задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Задача об отыскании решения y=y(x) дифференциального уравнения y'=f(x, y), удовлетворяющего начальному условию y(x₀)=y₀, называется задачей Коши. Решение задачи Коши называют частным решением.

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши. 

Если функция f(x, y) и ее частная производная по y непрерывны в области D, (x₀, y₀)D, то на некотором интервале (x₀-h, y₀+h) существует единственное решение y=y(x) уравнения y'=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀.

Теорема существования и единственности имеет простую геометрическую интерпретацию: если условия теоремы выполнены в области D, то через каждую точку (x₀, y₀)D проходит только одна интегральная кривая y=y(x,C₀) семейства y=y(x,C) такая, что y(x₀,C₀)=y₀.

11. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, приводящиеся к ним.

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение первого порядка вида

где X(x) и Y(y) — непрерывные функции.

Общий интеграл уравнения задается выражением

Решение y = y(x) задачи Коши y(x₀) = y₀  как неявную функцию переменной x задает выражение

Заметим, что если Y(y*) = 0 в некоторой точке y*, то уравнение y' = Y(y)X(x) имеет решение y(x) = y* при всех допустимых x. Все решения системы исчерпываются выражениями  y(x) = y* и

Однородные дифференциальные уравнения.

Уравнения вида P(x,y)dx+G(x,y)=0 называются однородными, если P(x,y) и G(x,y) - однородные функции одного измерения. Функция f(x,y) называется однородной измерения m, если f(x;y)-^mf(x,y)

Однородное уравнение может быть приведено к виду y’=f(y/x) с помощью подстановки y=tx, dy=xdt+tdx, однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции t.

11. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.

Уравнение вида y’+P(x)y=Q(x) называется линейным (y и y’ входят в первых степенях, перемножаясь между собой). Если Q(x)=0, то уравнение называется линейным неоднородным, а если Q(x)=0, то линейным однородным. Общее решение однородного уравнения y’+P(x)y=0 легко получается разделением переменных.

dy=P(x)dx; ⌡dy= - ⌡P(x)dx

y ⌡ y

lny=-⌡P(x)dx+lnC или, наконец,

y=Ce^-⌡P(x)dx, где С- произвольная постоянная.

Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лагранжа, варьируя произвольную постоянную, т.е. полагая

y=C(x)e-⌡P(x)dx, где C(x) – некоторая подлежащая определению дифференцируемая функция от x.

Для нахождения C(x) нужно подставить y в исходное уравнение, что приводит к уравнению

C’(x)e^-⌡P(x)dx=Q(x), отсюда

С(x)=⌡Q(x)e^⌡P(x)dx dx+C, где С- произвольная постоянная. Тогда искомое решение линейного неоднородного уравнения имеет вид

y=e^-⌡P(x)dx [⌡Q(x)e^⌡P(x)dx dx+C]

Линейные уравнения первого порядка можно интегрировать методом Бернулли, который заключается в следующем. С помощью подстановки

y=uv, где u и v – две известные функции, исходное уравнение преобразуется к виду.

u’v+uv+P(x)uv=Q(x) или

u[v’+P(x)v]+u’v=Q(x)

Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций (например v) может быть выбрана произвольно (поскольку лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению), за v принимаем любое частное решение уравнения

v+P(x)v=0 (например v=e^-⌡P(x)dx), обращающее в нуль коэффициент при v последним уравнением. Тогда предыдущее уравнение имеет вид

vu’=Q(x) или u’=Q(x), т.е.

v

u’=Q(x)e^⌡P’(x)dx dx

Общее решение исходного уравнения находится умножением u на v:

y= e^{-⌡P’(x)dx}[⌡Q(x)e^⌡P’(x)dx dx+C]

Уравнение нелинейного вида

y+P(x)y=Q(x)y^m, где m=0, m=1 называется уравнением Бернулли, которое можно преобразовать в линейное уравнение. Производя замену неизвестной функции при помощи подстановки z=y^1-m в результате чего исходное уравнение преобразуется к виду

1 z’+P(x)=Q(x)

1^-m

При интегрировании конкретного уравнения Бернулли, их не надо преобразовывать в линейные, а сразу применить либо метод Бернулли, либо метод вариации произвольной постоянной.

dy+ay=b, где a и b – постоянные

dx

Разделяем переменные

dy=-(ay+b)dx, dy =dx

-ay+b

-1/a*ln|-ay+b|=x+C₁

ln|-ay+b|=-(ax+C*), где С*=aC₁-ay+b=e^-(ax+C*)

y=-1/a*e-(ax-C*)+b/a или окончательно

y=Ce^-ax+b/a, где обозначение -1/a*e-C*=C