Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Bilety_po_matematike_3_semestr.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
27.04.2019
Размер:
2.08 Mб
Скачать

25

  1. Определение сходимости числового ряда. Свойства сходящихся рядов. Числовые ряды

Числовыми рядами называются бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения: U1+U2+…+Un+…= Числа U1U2… называются членами ряда, член Un – общим или n-ым членом ряда, сумма n-первых членов ряда.

Sn=U1+U2+…+Un= называются частной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е S=

Число S называется суммой ряда. Если конечного предела, последовательности частичного сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Отбрасывание или приписывание к ряду конечного числа членов не влияет на сходимость или расходимость ряда.

Пример Покажем, что ряд + + = сходится. Возьмем сумму Sn первых n членов ряда. Sn= + +…+ . Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде =1- ; = - ; = - ;…; = - . Поэтому Sn=(1-- )+( - - )+…+( - )=1- Отсюда следует, что предел последовательности членов числительных сумм данного ряда равен единице.

)=1- Ряд сходится, его сумма S=1

Пример 2.

Установим сходятся или расходятся ряды.

1-1+1-1+…+(-1)n-1+…=

Последовательность его частных сумм имеет вид S1=1, S2=0, S3=1, S4=0… и значит, не сходится ни к какому пределу, поэтому данный ряд расходится.

Пример 3.

Рассмотрим ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии:

a +aq+aq2+ aq3+…+ aqn-1+…= ,a≠0

Частичная сумма Sn этого ряда при q≠1 имеет вид Sn = a +aq+aq2+ aq3+…+ aqn-1= = -

Отсюда:

  1. еслиq1, то т.е ряды сходятся и его сумма S=

например, при a=1,q= имеет:

S=1+ + +… +…=2

  1. еслиq1, то , ряд расходится

  2. если q=1 ряд принимает вид a+a+a+…a+…

В этом случае: , ряд расходится

  1. при q=-1 ряд принимает вид a-a+a-a+… Для него Sn = - , т.е Sn=0 при n четном и Sn =a при n нечетном. Следовательно, Sn не существует и ряд расходится. Таким образом, ряд является сходящимся приq<1 и расходящимся при q1

  1. Необходимое условие сходимости числового ряда.

Если ряд сходится, то предел его общего члена при n→∞ равен нулю . При нарушении необходимого условия сходимости ряда, т.е если предел общего члена ряда при n→∞, не существует или если он не равен нулю, ряд расходится. Заметим, что если предел общего члена ряда равен нулю, то вывод о сходимости или расходимости ряда можно сделать только после дополнительного исследования.

Пример:

Гармонический ряд

1 + +…+ +…= этот ряд расходящийся

Пример: обобщенный гармонический ряд

1+ + +…+ +…=

Где α -некоторое число

Этот ряд сходится, если α 1 и расходится если α≤ 1.

Пример

3+

Является расходящимся, поскольку его общий член an= не стремится к нулю.

  1. Ряды с неотрицательными членами. Достаточные признаки сходимости: признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак.

Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.

Пусть имеется два числовых ряда с положительными членами.

a1+a2+…+an+…(1)

b1+b2+…+bn…(2)

где an>0,bn>,для всех n∈N. Для таких рядов справедливы следующие признаки сходимости.

Признаки сравнения.

Пусть общие члены рядов (1) и (2) (с положительными членами) связаны неравенством an≤bn, для всех n∈N.

Тогда:

  1. Если ряд (2) сходится, то и ряд (1) сходится

  2. Если ряд (1) расходится, то и ряд (2) расходится

При применении признака сравнения обычно в качестве эталонных рядов рассматриваются следующие ряды.

  1. Сумма членов геометрической прогрессии

  2. Гармонический ряд

  3. Обобщенные гармонический ряд

Пример:

1) =2+ + + +

Является расходящимся, так как его общий член bn= больше общего члена an= расходящегося гармоничного ряда.

2)Члены числового ряда положительны. Сравним их с членами обобщенного гармонического ряда. сходится, то по признаку сравнения сходится и сходный ряд.

Признак Даламбера

Пусть для числового ряда c положительными членами предел отношения последующего члена к предыдущему равен λ: тогда,

  1. Если λ<1, то ряд сходится

  2. Если λ>1, то ряд расходится

  3. Если λ=1, то ряд может сходиться, а может и расходится

Примеры:

  1. Числовой ряд является сходящимся. Для него = = 2*

0<1

По признаку Даламбера ряд сходится

  1. Числовой ряд ( все в степени) расходится. Для него = (n+1 в числителе-это степень, а n,2 в знаменателе – это степень)= )2 (в степени)=4>1 - По признаку Даламбера ряд расходится

  2. Для числового ряда имеем = =

Признак Даламбера не позволяет выяснить вопрос о сходимости ряда, однако этот ряд является расходящимся по необходимому признаку.

=1≠0

Предельный признак сравнения

Пусть и ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их обоих членов.

=μ≠0

Тогда ряда одновременно сходятся или расходятся.

Пример:

Для числовых рядов и рядов предел отношения общих членов равен =1≠0

Поскольку первый ряд как обобщенный гармонический сходится , то по предельному признаку сравнения сходится и второй ряд.

Интегральный признак сходимости

Пусть все члены числового ряда и не возрастают а1≥а2≥…≥an≥…

Пусть существует непрерывно возрастающая функция у=f(x) , опр. При всех x≥1, такая что f(1)=a1; f(2)=a2… f(an)=an , тогда для сходимости числового ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интервал dx

Пример:

Для α>1 члены обобщенного гармонического ряда «+» и не возрастают.

Рассмотрим функцию f(x)= . Для х1эта функция непрерывна и не возрастает, кроме того f(n)= , т.е для нее выполнены все интегрального признака сходимости.

Несобственный интеграл является сходящимся при а>1

Действительно, по определению сходимости несобственного интеграла имеем:

= = * = =0+ <∞

Поэтому обобщенный гармоничный ряд

при α>1, является сходящимся

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]