Напряжённость гравитационного поля

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Напряжённость гравитацио́нного по́ля — векторная величина, характеризующая гравитационное поле в данной точке и численно равная отношению силы тяготения, действующей на тело, помещённое в данную точку поля, к гравитационной массе этого тела:

[Править]Свойства

Если источником гравитационного поля является некое гравитирующее тело, то согласно закону всемирного тяготения:

 где:

• G — гравитационная постоянная;

• M_G — гравитационная масса тела-источника поля;

• R — расстояние от исследуемой точки пространства до центра масс тела-источника поля.

Применяя второй закон Ньютона и принцип эквивалентности гравитационной и инерционной масс:

то есть напряжённость гравитационного поля численно (и по размерности) равна ускорению свободного падения в этом поле.

Теорема Гаусса для напряжённости электрического поля в вакууме (электростатическая теорема Гаусса) Править

Общая формулировка: Поток вектора напряжённости электрического поля через любую, произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхностиэлектрическому заряду.

В системе СГСЭ:

ΦE = 4πQ.

В системе СИ:

,

где

•  — поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность S.

• Q — полный заряд, содержащийся в объеме, который ограничивает поверхность S.

•  — электрическая постоянная.

Данное выражение представляет собой теорему Гаусса в интегральной форме.

В дифференциальной форме теорема Гаусса соответствует одному из уравнений Максвелла и выражается следующим образом

в системе СИ:

,

в системе СГСЭ:

.

Здесь ρ — объёмная плотность заряда (в случае присутствия среды — суммарная плотность свободных и связанных зарядов), а   — оператор набла.

Для теоремы Гаусса справедлив принцип суперпозиции, то есть поток вектора напряжённости через поверхность не зависит от распределения заряда внутри поверхности.

Физической основой теоремы Гаусса является закон Кулона или, иначе, теорема Гаусса является интегральной формулировкой закона Кулона.

Теорема Гаусса для электрической индукции (электрическое смещение) Править

Для поля в веществе электростатическая теорема Гаусса может быть записана иначе— через поток вектораэлектрического смещения (электрической индукции). При этом формулировка теоремы выглядит следующим образом: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности свободному электрическому заряду:

Если же рассматривать теорему для напряжённости поля в веществе, то в качестве заряда Q необходимо брать сумму свободного заряда, находящегося внутри поверхности и поляризационного (индуцированного, связанного) заряда диэлектрика:

,

где  ,  — вектор поляризации диэлектрика.

Теорема Гаусса для магнитной индукции Править

Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

.

Это эквивалентно тому, что в природе не существует «магнитных зарядов» (монополей), которые создавали бы магнитное поле, как электрические заряды создают электрическое поле. Иными словами, теорема Гаусса для магнитной индукции показывает, что магнитное поле является вихревым.

Применение теоремы Гаусса Править

Для вычисления электромагнитных полей используются следующие величины:

• Объёмная плотность заряда (см. выше).

• Поверхностная плотность заряда

,

где dS — бесконечно малый участок поверхности.

• Линейная плотность заряда

,

где dl — длина бесконечно малого отрезка. Файл:Gausstheor.pngРассмотрим поле, создаваемое бесконечной однородной заряженной плоскостью. Пусть поверхностная плотность заряда плоскости одинакова и равна σ. Представим себе мысленно цилиндр с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основанием ΔS, расположенным относительно плоскости симметрично. В силу симметрии  . Поток вектора напряжённости равен  . Применив теорему Гаусса, получим:

,

из которого

,

в системе СГСЭ

Важно отметить, что несмотря на свою универсальность и общность, теорема Гаусса в интегральной форме имеет сравнительно ограниченное применение в силу неудобства вычисления интеграла. Однако в случае симметричной задачи решение её становится гораздо более простым, чем с использованием принципа суперпозиции.