Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

В этом случае движение твердого тела определяется уравнением

Здесь   - это момент импульса относительно оси вращения, то есть проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси (см. лекцию 2).   - это момент внешних сил относительно оси вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор этой точки на оси, как и в случае с   значения не имеет. Действительно (рис. 3.4),   где   - составляющая силы, приложенной к твердому телу, перпендикулярная оси вращения,   - плечо силы   относительно оси.

Рис. 3.4.

Теорема Штейнера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Иллюстрация теоремы для момента площади.

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Штейнера (значения).

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_C относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

где

J_C — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

J — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

m — масса тела,

d — расстояние между указанными осями.

Гироскоп. Гироскопом называется любое тяжелое симметричное тело, вращающееся около оси симметрии.

Примеры:

	велосипедное колесо;
	вал турбины;
	винт самолета.

Гироскопическими свойствами обладают также элементарные частицы, например, электроны в атоме.

Благодаря быстрому вращению, гироскоп обладает следующими интересными свойствами:

	стремится сохранить неизменным положение оси вращения в пространстве;
	устойчив к ударным воздействиям;
	безинерционен;
	необычным образом реагирует на действие внешней силы. Попытка повернуть гироскоп относительно одной оси вызывает его вращение относительно другой - ей перпендикулярной.

Рассмотрим гироскоп в особой оправе, называемой "карданов подвес". В данном случае он представляет собой тяжелое дискообразное тело, способное вращаться с малым трением вокруг закрепленного центра масс. Оправа состоит из двух колец: внутреннего и наружного. Ось вращения гироскопа проходит через его центр масс и закреплена в подшипниках, расположенных во внутреннем кольце. Само внутреннее кольцо может вращаться вокруг горизонтальной оси, опирающейся на подшипники, укрепленные на внешнем кольце. Внешнее кольцо может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через торцевой подшипник подставки (см. рис. 9.6). Силы трения в подшипниках малы.

Кольца и диск симметричны относительно своих осей и поэтому гироскоп остается в равновесии в любом положении. В данном случае гироскоп можно рассматривать, как симметричное твердое тело, закрепленное в центре масс. Ось гироскопа может занимать любое положение в пространстве. Свободный гироскоп может повернуться вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, следовательно, он обладает тремя степенями свободы.

В случае блокировки поворота вокруг одной из осей гироскоп обладает двумя степенями свободы и называется несвободным гироскопом.

Свойства свободного гироскопа. Гироскоп обладает следующими свойствами:

	сохраняет неизменной положение оси вращения в пространстве;
	устойчив к ударным воздействиям (см. рис. 9.7);
	обладает необычной реакцией на действие внешней силы. Если сила стремится повернуть гироскоп относительно одной оси, то он поворачивается вокруг другой, ей перпендикулярной;
	безинерционен.

Рис. 9.7. Устойчивость гироскопа к ударным воздействиям.

Заметим, что при отсутствии вращения вокруг собственной оси гироскоп этими свойствами не обладает. Они в полной мере проявляются для массивного диска, вращающегося с большой скоростью.

Энергия как универсальная мера различных форм движения.

Рассмотрим действие внешней силы  , приложенной к точке массой  . За время   элементарная масса   проходит путь   Работа силы   на этом пути определяется проекцией силы на направление перемещения, которая очевидно, равна тангенциальной составляющей   силы.

Но   равна модулю момента   силы   относительно оси вращения. Работа  , и будет положительна, если   имеет такое же направление, как и   отрицательное, если направление векторов   и   противоположны.

С учетом, что 

Работа всех сил, приложенных к телу

(5.13)

Полная работа

(5.14)