22. Векторное произведение. Представление в виде определителя. Ориентация результирующего вектора. Модуль векторного произведения, его геометрический смысл.

Векторное произведение векторов: ( с = [ab] = [a,b])

1) векторсназывается векторным произведением, не компланарных(лежат не в одной плоскости) векторов a и b, если его длина равна произведению длин векторов aиb на синус угла между ними : ;

2) векторcортогонален(перпендикулярен) векторам a и b;

3) векторы a, bиcобразуют правую тройку.

Свойства векторного произведения: (алгебраические)

1 )д ля любых векторов a, bиc, и действительного числа Л выполняется следующее свойство: [ a , b] = - [ b , a] ;

2 ) [ a + b , c] = [ a + c ] + [ b , c ] ;

3) [λa , b ] = Л [ a , b ].

Геометрически свойства векторного произведения:

1)модуль вектороного произведения чесленно равен площади параллелограмма, построенного на векторах aи b;

2) векторное произведение = нулевому вектору, тогда и только тогда, когда множители коллинеарны(если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой).

Представление в виде определителя:

Если система координат левая, то их векторное произведение имеет вид:

Результирующий вектор- средний вектор, т. е. векторная сумма составляющих векторов. Вычисляется за некоторый период времени.

23.Общее определение линейного пространства. Линейное векторное пространство. Примеры линейных пространств.

Л инейным (векторным) пространством называется множество Vпроизвольных элементов, названных векторами, в котором определены операции сложения и умножения вектора на число.

С умма :U + V, U, V Vлинейные операции

Умножение: λ*U, U V

Аксиомы (свойства) линейного пространства:

1) , для любых   (коммутативность сложения);

2) , для любых   (ассоциативность сложения);

3) существует такой элемент  , что   для любого   (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;

4) для любого   существует такой элемент  , что   (существование противоположного элемента относительно сложения).

5)  (ассоциативность умножения на скаляр);

6)  (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

7)  (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8) (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Пример линейного пространства:

Гильбертово пространство-  пространство последовательностей со сходящимся рядом квадратов. Элементами (векторами) такого пространства являются бесконечные числовые последовательности x = (x₁, x₂,..., x_n,...) такие, что ряд x²₁ + x²₂ +... + х²_n + ... сходится.

24. n-мерное линейное векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства. Разложение вектора по системе векторов. Переход к новому базису.

n-мерное векторное пространство – пространство, имеющее n измерений (размерности n). Обычно этот термин применяется к пространству размерностью более трёх. При n=∞ имеем бесконечномерное пространство.

Размерность векторного пространства -максимальное число линейно-независимых векторов в векторном (линейном) пространстве. Если это число конечно, то пространство называется конечномерным (многомерным). В противном случае — бесконечномерным.

Базис векторного пространства - набор из максимального (для данногопространства) числа линейно независимых векторов. Следовательно, все остальные векторы пространства оказываются линейными комбинациями базисных. Если все базисные векторы взаимно ортогональны, а длина каждого из них равна единице, то базис называетсяортонормированным. Единичный базисный вектор называют ортом (обозначается e_i, где i — номер координаты).

Каждый вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов: a = ∑a_ie_i. Коэффициенты разложения ai однозначно определяют вектор a. Поэтому часто говорят, что n-мерный вектор — это упорядоченная совокупность n чисел {a_i}. Размерность векторного пространства равна количеству векторов, составляющих его базис.

Разложение вектора по системе векторов:

Пусть   – произвольный вектор,   – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

                    ,   (1)

то говорят, что вектор   представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов   является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора   по базису  . Коэффициенты линейной комбинации   называются в этом случае координатами вектора   относительно базиса  .

Переход к новому базису:

Вектор в старом базисе:

В новом:

Старые координаты связаны с новыми

Решив эту систему с помощью обратной матрицы, найду координаты вектора   в новом базисе  Матрица, связывающая старые и новые координаты:

Новые и старые координаты связаны отношением: b=Bb^I b – матрица старых координат; B – матрица, связывающая координаты старые и новые; B^I – матрица новых координат. Отсюда: b^I=B^-1b Найду обратную матрицу B^-1.

Определитель ≠0 , значит обратная матрица существует. Найду алгебраические дополнения: