12. Системы линейных алгебраических уравнений (слау). Основные понятия. Матричная форма записи слау.

Основные понятия:

Ситемой линейных алгебраических уравнений, содержащих m уравнений и n неизвестных, называется система вида

Решением системы 1 называется n- значением: x₁=c₁, x₂=c₂, x_n=c_n, где с_ij= const , при подстановке которых в один, все уравнения обращаются в верные равенства.

c₁

b= c₂

c_n

Cистема называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение; и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Каждое решение будем называть частным решением. Совокупность частных решений образует общее решение.

Решить систему означает выяснить, совместна она или нет. Если совместна, то найти общее решение.

(a_ij), i = 1, m , называются коэффициентами

j = 1, n системы

b_i- свободные члены ,x_i-неизвестное

Ax = B – матричная форма записи СЛАУ.

А=

Х=

А х=b

b=

Р асширенной матрицей системы (А) называется матрица, получающаяся из исходной матрицы системы, присоединением вектора столбца свободных членов.

А = (А b)

Две системы назыв. эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и тоже общее решение,т.е. любое решение одной из них явл. Решением другой и наоборот.

Замечание: Эквивалентные системы получаются в частности при элементарных преобразованиях системы и при условии, что преобразования совершаются лишь над строками матрицы.

СЛАУ назыв. однородной, если все ее свободные члены равны нулю

Замечание: однородная сист. Всегда совместна, поскольку существуют тривиальные решения: х₁=о, х₂=0, х_m=0.

13. Системы лин.Ур-ий. Реш-ие сист. Лин. Ур-ий. Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера-Капелли:

СЛАУ совместна (имеет одно решение), тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной.

Теоремы:

1.Если ранг совместной сисемы равен числу неизвестных, т.е. r=n, то системы имеет единственное решение.

2. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Решение систем лин. ур-ий:

1. Найти ранг основной и расширенной матрицы системы. Если ранг основной матрицы отличен от ранга расширенной, то согласно теории Кронекера- Капелли, матрица несовместная, нет решений.

2. если ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система совместна:1) найти какой-либо базисный минор порядка (тот минор, который определяет ранг);

2)Взять r-уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор. Неизвестные коэффициенты которых входят в базисный минор называются главными и остаются слева, а остальные n-r неизвестных называют свободными и переносят в правую часть ур-ий.

3. Найти выражение главных неизвестных через свободные, получено общее решение.

4.Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.