1.Матрицы. Основные понятия. Виды матриц.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Место каждого эл-та определяется номером строки и столбца, на пересечении кот. он находится.

Эл-ты матрицы обозначаются a_ij, где i – ном. строки матр., а j – ном. столбца матр.

У матрицы есть 2 диагонали. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ матр., а эл-ты стоящие на другой диагонали образуют вспомогательную диагональ матр.

Матрица записывается в виде:

Мат-ца может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Мат-ца может состоять даже из одного эл-та.

Мат-цы равны между собой, если равны все соответствующие эл-ты этих матриц, т. е. А = В, если a_ij = b_ij.

Мат-ца А наз. симметричной, если она квадратная и если все a_ij = а_ji.

Если m = n, то мат-ца называется квадратной.

Кв. мат-цу размера "n×n" называют матрицей n - ого порядка.

Кв. мат-цу, у кот. все эл-ты, кроме эл-ов глав. диагонали, равны нулю, наз. диагональной матрицей. Диаг-ая матрица :

Диаг-ая матрица, у кот. каждый эл-т глав.диагонали =1, наз. единичной матрицей. Единичная матрица :

Кв. матрица, называется треугольной, если все эл-ты матрицы, расположенные по одну сторону от глав. диагонали, =0. Матрица, все эл-ты кот=0, наз. нулевой матрицей и обозначается буквой О. В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль 0 и 1 в арифметике.

Матрица, содержащая 1строку или 1столбец, наз. вектором (Или вектор-строка, или вектор-столбец).

Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием мат-цы, если эл-ты каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В. Обозначается А^Т.

Другими словами, a_ij = b_ji.

2.Линейные операции над матрицами. Св-ва операций.

Равенство матриц Матрицы  A = || a_i j ||  и  B = || a_i j ||  считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие матричные элементы попарно равны:

К линейным операциям над эл-ми множества или пространства относятся оп-ции сложения эл-ов и их умножения на скаляр (число).

Умножение матрицы на число При умножении матр.  A  на число  λ  (слева или справа) каждый ее матричный эл-т умножается на это число:

Сложение матриц

Оп-ция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц  A = || a_i j ||  и  B = || b_i j ||  явл. матрица  C = || c_i j || , эл-ты кот. равны сумме соответствующих матричных эл-ов:

Линейной комбинацией матриц A и B наз.выражение вида   , где     и   – числовые коэфф-ты.