1 6. Решение систем линейных ур-ий методом исключения Гаусса (алгоритм решения, достоинства и недостатки данного метода).

Суть метода состоит в последовательном исключении неизвестных.Пусть дана система из m-ур-ий с n-неизвестных.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из 2-х этапов:

1. На 1 –ом этапе, который назыв. «прямой ход», система приводиться к ступенчатому виду.

2.На 2-ом этапе, который назыв. «обратный ход», идет последов. определение неизвестных из получ. ступенчатой системы.

«Прямой ход»: Будем считать, что элемент a₁₁ не равен 0, если a=0, то в первой системе запишем ур-ие, в котором коэффициент при x₁ не равен 0.

Преобразуем систему, исключив неизвестное x1 во всех ур-ях, кроме первого, для этого используются элементарные преобразования.

1-ое ур-ие дожножается на – а ₂₁/а _11, далее процесс повторяется с переменной х_2.В случае получения нулевых ур-ий мы их отбрасываем. Если появляются ур-ия вида 0=b_iтогда система несовместна.

«Обратный ход»:Заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система решений в общем случае имеет бесчисленное множество решений. В последнем ур-ие этой системы выражаем первое неизвестное xk через остальные. Остальными будут x_k+1..x_n, затем подставляем значение x_k в предпоследнее ур-ие и выражаем x_k-1 через x_k+1 и т.д…. x_n, затем выражаем x_k-2.

Придавая произвольные значения свободным неизвестным (x_k+1,..x_n), получаем бесконечное множество решений. Замечание: 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, то k=n (кол-во оставш. ур-ий = кол-ву неизвестных), в этом случае есть одно решение. 2. На практике удобнее работать не с исходной системой, а с размеренной ее матрицей, выполняя все преобразования над ее строками. Удобно чтобы коэффициент а ₁₁ = 1, для этого, либо переставляем строки местами, либо делим на значение а ₁₁ всю строку.

3. Метод Гаусса по сравнение с другими методами имеет следующие достоинства: 1)он менее трудоемкий; 2) позволяет однозначно установить совместная система или нет, а в случае совместности найти ее решения; 3) дает возможности найти максимальное число линейно- независимых ур-ий, их кол-во равно рангу матрицы системы.

Билет 17.Системы линейных однородных уравнений. Теорема о существовании нетривиального решения.

Система ЛУ(лин ур-ий)называется однородной, если все свободные члены этой системы =0. Однородная система уравнений в векторной форме имеет вид:

A1x1+A2x2+…+Anxn=0, а в векторно-матричной форме- AX=0, где A=(A1, A2,…, An)

Однородная система уравнений AX=0 обладает след свойствами: 1- Если К1 и K2-решения однородной системы, то К1 +К2 явл решением системы. Действительно по условию АК1=0 и АК2 =0. Отсюда следует, что А(К1+К2)=АК1+АК2=0+0=0. 2-Если К –решение однородной системы, то LK-решение этой системы (L-число). Из АК=0 следует, что А (LK)=L(AK)=L0=0. Из этих свойств вытекает, что любая линейная комбинация решения однородной системы линейных уравнений является решением этой системы.

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0

… … … … … … … … … … …

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0

Однородной системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

Эта система может быть записана в виде матричного уравнения

A · X = O

и операторного уравнения

^Ax = θ

Система всегда совместна, так как:

1. имеет очевидное решение x₁⁰ = x₂⁰ = … = x_n⁰ = 0 , которое называется нулевым, или тривиальным;

2. добавление нулевого столбца не меняет ранга матрицы, следовательно, выполняется достаточное условие теоремы Кронекера–Капелли;

Теорема о существовании нетривиального решения: Для того чтобы существовало хотя бы одно ни тривиальное решение необходимо и достаточно чтобы ранг был меньше числа неизвестных

· Док-во:

Система всегда имеет одно решение когда ранг меньше числа неизвестных система имеет множество решений одно из них тривиальное все остальные не тривиальные также ранг не может быть больше числа неизвестных.

Условие нетривиальной совместности:

Для того, чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных.

Следствие. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными (матрица системы A — квадратная) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы этой системы был равен нулю ( det A = 0 ).

Билет 18. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений. Общее решение СЛОУ.

Линейно независимые решения F1, F2, Fn,…, Fk.

Система ЛУ(лин ур-ий)называется однородной, если все свободные члены этой системы =0. Однородная система уравнений в векторной форме имеет вид:

A1x1+A2x2+…+Anxn=0, а в векторно-матричной форме- AX=0, где A=(A1, A2,…, An)

Однородная система уравнений AX=0 обладает след свойствами: 1- Если К1 и K2-решения однородной системы, то К1 +К2 явл решением системы. Действительно по условию АК1=0 и АК2 =0. Отсюда следует, что А(К1+К2)=АК1+АК2=0+0=0. 2-Если К –решение однородной системы, то LK-решение этой системы (L-число). Из АК=0 следует, что А (LK)=L(AK)=L0=0. Из этих свойств вытекает, что любая линейная комбинация решения однородной системы линейных уравнений является решением этой системы.

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0

… … … … … … … … … … …

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0

Однородной системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

Эта система может быть записана в виде матричного уравнения

A · X = O

и операторного уравнения

^Ax = θ

Система всегда совместна, так как:

3. имеет очевидное решение x₁⁰ = x₂⁰

4. = … = x_n⁰ = 0 , которое называется нулевым, или тривиальным;

5. добавление нулевого столбца не меняет ранга матрицы, следовательно, выполняется достаточное условие теоремы Кронекера–Капелли;

Множество решений однородной линейной системы относительно n неизвестных является линейным подпространством пространства Rn. Размерность этого подпространства равна n − r, где r − ранг матрицы системы A.

Любой базис пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений однородной системы.

Иначе говоря, любая упорядоченная совокупность n − r линейно независимых решений однородной линейной системы образует фундаментальную систему решений однородной системы.

Алгоритм построения фундаментальной системы решений однородной системы ур-ий A1x1+A2x2+…+Anxn=0, у которой ранг r системы векторов A1, A2, …, Аn меньше числа n-неизв. 1-найти общее решение однороднйо системы ур-ий, 2-выписать диагональную систему(n-r) –мерных векторов:Е1=(1,0,…,0), Е2=(0,1,…,0),…, Еn-r=(0,0,…,1), где r-число разреш неизв в общем решении, а n-число неизв в сис-ме.3-подставить в общее решение вместо своб неизв координаты вектора E1, а затем найти значение разреш неизв. Полученная совок-сть значений неизв опред-ет решение F1.4-Аналогично с помощью

векторов Е2, …, Еn-r найти решение F2,…, Fn-r. 5- Получ реш-ия F1, F2, …, Fn-r обр-ют ФСР. ФСР=С1L1+C2L2+…+CkLk=Xобщее однородн (k=n-r, с-const).

Общее решение сис-мы m-линейн ур-ий с n-неизв=сумме общего реш-ия соответств ей сис-ме однор лин ур-ий и произв частного реш-ия системы Xобщее=Xчастное+Xоднор. Общее =Xчастное +С1L1+…+СkLk

Билет 19.Модель межотраслевого баланса Леонтьева. Основные соотношения. Примеры задач.

В 1930-е годы Василий Леонтьев применил метод анализа межотраслевых связей с привлечением аппарата линейной алгебры для исследования экономики США. Метод стал известен под названием «затраты — выпуск». Если матрица Е-А явл невырожденной (det

-1 -1

не равен 0), то сущ-ет ей обратная Е-А . X=AX+Y; X-AX=Y; (E-A)*X=Y; X=(E-A) *Y (E-A= S); X=S*Y, где S-матрица полных затрат. Sij=xi- объем продукции .