Задача 1.8

Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями

где см; см; с; с; с.

Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и написать уравнение результирующего колебания.

Дано: ; ; ; ; T = 2 c.	Рис. 1.3
X = f (t)?

Решение

Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени t = 0. Преобразовав оба уравнения к канонической форме

получим

Отсюда видно, что оба складываемых гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту Начальные фазы 1-го и 2-го колебаний соответственно равны

.

Произведем вычисления:

;

Изобразим векторы А₁ и А₂. Для этого отложим отрезки длиной А₁ = 3 см и А₂ = 2 см под углами  = 30 и  = 60 к оси ОХ. Результирующие колебания будт происходить с той же частотой и амплитудой , равной геометрической сумме амплитуд А₁ и А₂:

Согласно теореме косинусов,

Начальную фазу результирующего колебания можно определить непосредственно из векторной диаграммы (рис. 1.3):

Произведем вычисления:

, или 0,735 рад.

Так как результирующее колебание является гармоническим, имеет ту же частоту, что и слагаемые колебания, его можно записать в виде

где А = 4,84 см;

Задача 1.9

Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых:

(1.20)

(1.21)

где А₁ = 1 см; А₂ = 2 см; .

Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Дано: см; см; ; .	Рис. 1.4
y = f (x)?

Решение

Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнений (1.20) и (1.21). Заметив, что

,

применим формулу косинуса половинного угла:

Используя это соотношение, можно написать

; (1.22)

, (1.23)

откуда

или . (1.24)

Полученное уравнение представляет собой уравнение параболы, ось которой лежит на оси ОХ. Как показывают уравнения (1.20) и (1.21), амплитуда колебаний точки по оси ОХ равна 1, а по оси ОY – 2. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от –1 до +1, а ординаты – от –2 до +2.

Для построения траектории найдем по уравнению (1.22) значения y, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию х 1:

x			х
-1	0		0	1,41
-0,75	0,71		0,5	1,73
-0,5	1		1	2

Начертив координатные оси и выбрав единицу длины – сантиметр, построим точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию результирующего колебания точки. Она представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуд АВСD (рис. 1.4). Из уравнений (1.20) и (1.21) находим, что период колебаний точки по горизонтальной оси Т_х = 2 с, а по вертикальной оси Т_у = 4 с. Следовательно, когда точка совершит одно полное колебание по оси ОХ, она совершит только половину полного колебания по оси ОY.

В начальный момент (при t = 0) имеем: х = 1; y = 2. Точка находится в положении А. При t = 1 с получим: х = –1; y = 0. Материальная точка находится в вершине параболы. При t = 2 с получим: х = 1; y = –2. Материальная точка находится в положении D. После этого она будет двигаться в обратном направлении.