Задача 1.6

Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости υ₁, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли )? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.

Дано: R = 6,37 106 м;
υ = ?

Решение

Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести. При неработающем двигателе под действием силы тяжести механическая энергия ракеты изменяться не будет.

Следовательно,

(1.13)

где Т₁, П₁ и Т₂, П₂ – кинетическая и потенциальная энергия ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях.

Согласно определению кинетической энергии,

(1.14)

Потенциальная энергия ракеты в начальном состоянии

(1.15)

По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия возрастает, а кинетическая – убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия Т₂ станет равной нулю, а потенциальная достигает максимального значения:

(1.16)

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел, бесконечно удаленных друг от друга, принимается равной нулю. Подставляя выражения Т₁, П₁ и Т₂, П₂ в (1.13), получаем

,

откуда

,

где g = GM /R² – ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Подставим числовые значения величин и произведем вычисления:

Задача 1.7

Частица массой 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы – 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы F_max, действующей на частицу.

Дано: T = 2 c; E = 0,1 мДж = 1  10-4 Дж;
A = ? Fmax = ?

Решение

Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы

Подставив сюда выражение и выразив амплитуду, получим

(1.17)

Подставим числовые значения величин и произведем вычисления:

м = 0,045 м.

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением

|F| = kx,

где k – коэффициент квазиупругой силы;

х – смещение колеблющейся точки.

Максимальное значение сила приобретает при максимальном смещении х_max, равном амплитуде, т.е.

. (1.18)

Коэффициент k выразим через период колебаний:

(1.19)

Подставив в уравнение (1.18) выражения для k из формулы (1.19) и А из формулы (1.17), после сокращений и упрощений получим

.

Произведем вычисления:

= 4,44  Н.