Решение

Координату Х найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В, С и времени t:

.

Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени:

В момент времени t = 2 с

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

В момент времени t = 2 с

Задача 1.2

Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону  = А+Вt+Сt², где А = 10 рад; В = 20 рад/с; С = –2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

Дано:  = А + Вt + Сt2; А = 10 рад; B = 20 рад/с; С = -2 рад/с2; r = 0,1 м; t = 4 с.	Рис. 1.1
a = ?

Решение

Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (рис 1.1.):

.

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, абсолютное значение ускорения

. (1.1)

Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами

,

где – угловая скорость тела;

– его угловое ускорение.

Подставляя выражение для и в формулу (1.1), находим

. (1.2)

Угловую скорость найдем, взяв производную угла поворота по времени:

.

В момент времени t = 4 с угловая скорость

рад/c = 4 рад/c.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

рад/с².

Это выражение не содержит времени; следовательно, угловое ускорение заданного движения постоянно.

Подставляя найденные значения и и заданное значение r в формулу (1.2), получим

м/с².

Задача 1.3

При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой 20 г поднялась на высоту 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на 10 см. Массой пружины пренебречь.

Дано: m = 20 г = 0,02 кг; h = 5 м; x = 10 см = 0,1 м.
k = ?

Решение

Воспользуемся законом сохранения энергии, но прежде проследим за энергетическими превращениями, с которыми связан выстрел. При зарядке пистолета сжимается пружина и совершается работа в результате чего пружина приобретает потенциальную энергию . При выстреле потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию T₂ пули, а затем при подъеме ее на высоту h превращается в потенциальную энергию пули. Если пренебречь потерями энергии в этой «цепочке» энергетических превращений, то на основе закона сохранения энергии можно записать:

. (1.3)

Найдем работу . Сила F₁, сжимающая пружину, является переменной: в каждый момент она по направлению противоположна силе упругости F и численно равна ей. Сила упругости, возникающая в пружине при ее деформации, определяется по закону Гука:

F = kx,

где х – абсолютная деформация пружины.

Работу переменной силы вычислим как сумму элементарных работ. Элементарная работа при сжатии пружины на dx выразится формулой

.

Интегрируя в пределах от 0 до х, получим

. (1.4)

Потенциальная энергия пули на высоте h определится по формуле

, (1.5)

где g – ускорение свободного падения.

Подставив в (1.3) выражение из (1.4) и из (1.5), найдем

,

откуда

. (1.6)

Проверим, дает ли полученная формула единицу жесткости k. Для этого в правую часть формулы (1.6) вместо величин подставим их единицы:

Убедившись, что полученная единица Н/м является единицей жесткости, подставим в формулу (1.6) значения величин и произведем вычисления: