5.Определения понятий, ошибки в определениях.

Определение понятия – это раскрытие содержания понятия. При определении понятия используются не все существенные признаки (это практически невозможно), а только необходимые, самые главные, определяющие.

Понятие может быть правильно определено различными способами:

1. Через ближайший род и видовое отличие (встречается наиболее часто). В нём содержится указание на класс объектов, среди которых содержится определяемый объект (ближайший род), и на признак, посредством которого он выделяется из этого класса (видовое отличие). Примером такого определения является следующее: «Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом». Выделяем понятие «параллелограмм» (ближайший род) и свойство «наличие прямого угла» (видовое отличие). Такое определение является явным определением, в котором четко (явно) выделены определяемое и определяющее понятия.

2. Через абстракцию – это косвенные определения через системы аксиом. Так определяются исходные понятия, которые не определяются через другие понятия данной теории, так как им не предшествуют никакие другие понятия этой теории (например, точка, прямая, плоскость и др.). В процессе обучения должны создаваться такие педагогические ситуации, которые помогли бы учащимся понять суть таких неопределяемых понятий.

Например, можно построить такую последовательность определений:

1. Квадрат – ромб с прямым углом.

2. Ромб – параллелограмм с равными смежными сторонами.

3. Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

4. Четырехугольник – многоугольник с четырьмя сторонами.

5: Многоугольник – фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией.

6. Фигура – множество точек.

Как видно, этот процесс сведения одних понятий к другим доходит до понятий «множество» и «точка», которые принимаются за первоначальные и именно поэтому не определяются через другие понятия. Это, однако, не означает, что они никак не определяются. В аксиомах выражаются основные свойства исходных понятий и отношений между ними, которыми пользуются при доказательстве теорем и определении других (определяемых) понятий. Поэтому системы аксиом можно рассматривать как неявные определения исходных понятий. Таким образом, когда говорят, например, что понятия «точка» и «прямая» – исходные понятия и поэтому не определяются, надо это понимать точнее: «не определяются явно через другие понятия».

3. Генетически – определение объекта путём указания способа его построения. Например,

4. Индуктивно – указывается способ получения каждого следующего элемента определяемого класса объектов из каких-либо исходных элементов. Например, рекуррентное равенство определяет арифметическую прогрессию; рекуррентное равенство определяет числа Фибоначчи.

Об определении не имеет смысла говорить, истинно оно или ложно. Определение может бить правильным (корректным) или неправильным (некорректным) в зависимости от того, удовлетворяет оно или нет определенным требованиям. Важнейшие требования, предъявляемые к определениям, таковы:

1. Определение не должно быть «слишком широким», т.е. объём определяющего понятия не должен быть шире объёма определяемого понятия. Например, определения «Диаметр окружности есть отрезок прямой, соединяющий две точки окружности» или «Параллелограмм – это многоугольник, противолежащие стороны которого параллельны» ошибочны. Для исправления ошибки достаточно привести контрпример.

2. Определение не должно быть «слишком узким», т.е. объём определяющего понятия не должен быть уже объёма определяемого понятия. Например, определение «Параллелограмм – это четырёхугольник с равными сторонами» ошибочно. В целях исправления ошибки необходимо привести не контрпример, а наоборот, пример параллелограмма. Полезно нарисовать «вытянутый» параллелограмм. Выясняется, что параллелограмм не подходит под данное определение, после чего формулировка определения уточняется.

3. Отсутствие тавтологии – ошибки, при которой понятие определяется через себя. например, «Геометрия – это наука, которая изучает геометрические фигуры».

4. Отсутствие «порочного круга». Нарушение этого требования проявляется в том, что определяемое содержится (явно или неявно) в определяющем. Например, фразы: «Решение уравнения – это то число, которое является его решением», «Подобными называются фигуры, которые между собой подобны» – не могут служить определениями решения уравнения и подобных фигур соответственно, так как в каждом из этих предложений содержится порочный круг.

5. Отсутствие омонимии: каждый термин (символ) должен встретиться не более одного раза в качестве определяемого. Нарушение этого требования приводит к тому, что один и тот же термин (символ) обозначает различные понятия, т.е. нарушается один из принципов употребления символов или терминов в качестве имен.

6. Определение не должно быть недостаточным или избыточным. Например, рассмотрим определения понятия «квадрат»:

1. Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые (недостаточное).

2. Квадрат – это ромб с прямым углом (правильное).

3. Квадрат – это параллелограмм с равными сторонами и четырьмя прямыми углами (избыточное).

Такого рода ошибки могут служить поводом для уточнения определения.

7. Определение не должно быть отрицательным. Например, следующее определение скрещивающихся прямых нежелательно: «Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися прямыми».