1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель работы - изучение поведения деформируемых тел при действии на них внешних сил и экспериментальное определение мо­дуля Юнга по деформации растяжения.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

В теоретической механике (статике) изучается равновесие аб­солютно твердого тела; этого представления о материале достаточ­но для решения поставленной в статике задачи - определения усло­вий, при которых возможно взаимное уравновешивание приложенных к телу сил. При изучении сопротивления материалов действию этих сил такого грубого приближенного представления о свойствах мате­риала уже недостаточно; мы должны учесть, что абсолютно твердых тел в природе не существует.

В действительности тела под действием приложенных к ним сил в той или иной степени меняют свою форму и размеры, т. е. дефор­мируются. Величины и характер деформаций связаны со структурой, строением применяемых нами материалов. Все эти материалы могут быть разбиты на два класса: кристаллические и аморфные [1].

Кристаллические материалы состоят из громадного количества хаотически расположенных относительно друг друга мелких кристал­ликов. Известно, что в отдельном кристалле (монокристалле) атомы располагаются в определенном порядке, образуя кристаллическую решетку. Кристаллическую структуру имеют металлы (поликристалли­ческие тела). В аморфных телах (стекло, смолы и т.п.) в отличие от кристаллов нет строгого порядка в расположении атомов. Только ближайшие атомы-соседи располагаются в некотором порядке. Но строгой повторяемости во всех направлениях одного и того же эле­мента структуры, которая характерна для кристаллов, в аморфных телах нет.

Атомы удерживаются в равновесии силами взаимодействия. Де­формация тел происходит за счет изменения расположения атомов, их сближения или удаления. Деформации разделяются на упругие и пластические. Упругими деформациями называются такие изменения формы и размеров элементов, которые исчезают после удаления выз­вавших их сил, - тело полностью восстанавливает свою прежнюю форму. Эти деформации связаны лишь с упругими искажениями решет­ки атомов. Опыт показывает, что упругие деформации наблюдаются, пока величина внешних сил не превзошла известного предела.

Если же внешние силы перешли этот предел, то в результате смещения атомы и молекулы меняют своих "соседей" и начинают вза­имодействовать с другими. После прекращения действия внешних сил они уже не возвращаются к прежнему положению, форма и размеры элемента не восстанавливаются в первоначальном виде. Такие де­формации называются пластическими. Пластические деформации сох­раняются в теле после снятия нагрузки, поэтому их еще называют остаточными. В кристаллических материалах эти деформации связаны с необратимыми перемещениями одних слоев кристаллической решетки относительно других.

В зависимости от направления действия сил, приложенных к телу, могут возникать различные виды деформаций: растяжение,, сжатие, сдвиг, кручение, изгиб. Мы будем знакомиться с деформа­цией тел наиболее простой формы. К таким телам относятся так на­зываемые призматические стержни с прямой осью. Кроме того, будем считать, что сам стержень не имеет массы.

В иды деформаций

Деформация растяжения или сжатия возникает в том случае, когда внешние силы направлены по одной прямой (вдоль оси стерж­ня) в разные стороны (рис. 1,а,б). Если на стержень действуют внешние силы, стремящиеся сдвинуть одну часть его относительно другой, то возникает деформация сдвига. При этом, как видно из рис. 1,в, силы образуют пару с небольшим плечом в плоскости про­дольной оси стержня. Если стержень находится под действием наг­рузок, создающих противоположные пары сил в плоскостях, перпен­дикулярных продольной оси стержня, то появляется деформация кру­чения (рис. 1,г). И, наконец, если две пары сил разного знака действуют в плоскости продольной оси стержня, то создается де­формация изгиба (рис. 1,д).

В теории упругости доказывается, что все типы деформаций могут быть сведены (при условии, что они достаточно малы) к од­новременно происходящим деформациям растяжения (или сжатия) и сдвига.

Смещение атомов при деформации материала под действием внешних сил сопровождается изменением 'сил взаимодействия между атомами - сил притяжения и отталкивания. Во всяком твердом теле под действием внешних сил возникают дополнительные внутренние силы, сопровождающие деформацию материала. Эти внутренние силы сопротивляются стремлению внешних сил разрушить тело, изменить его форму, отделить одну его часть от другой. Они стремятся восстановить прежнюю форму и размеры деформированной части тела. Отсюда следует, что для решения задач сопротивления материалов необходимо прежде всего научиться по внешним силам определять внутренние силы упругости. Для этого применяют метод сечений, сущность которого заключается в следующем.

■ Пусть к концу однородного стержня с площадью поперечного сечения S приложена сила F, действующая на все сечение стержня равномерно, другой конец стержня закреплен (рис. 2,а).

Разделим мысленно стержень на две части сечением ш-n, пер­пендикулярным его оси (рис. 2,6), и определим силы, с которыми эти части стержня действуют друг на друга. Так как обе части стержня находятся в равновесии, то векторная сумма сил, действу­ющих на каждую из них, должна быть равна нулю. Отбросим верхнюю часть и рассмотрим равновесие нижней (рис. 2,в,г). Равновесие этой части не нарушится лишь в том случае, если к ней приложить

реакции - внутренние силы, заменяющие действие отброшенной час­ти. Внутренние силы будут уравновешивать внешнюю силу F, поэтому они должны сложиться в равнодействующую N, равную по модулю F и направленную по оси стержня в сторону, противоположную внеш­ней силе, т.е. N = -F. Такая же по величине, но направленная вниз сила действует по третьему закону Ньютона со стороны нижней части на верхнюю. Равнодействующая N внутренних сил называется усилием, передающимся через сечение S от одной части стержня на другую и обратно. В этом и состоит метод сечений.

Метод сечений

Величина внутренних сил упругости, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения тела, называется механическим напря­жением и обозначается буквой б. Напряжение, следовательно, явля­ется мерой внутренних сил, возникающих в теле при деформации. Для однородного, растянутого, нагруженного по концам стержня напряжения остаются постоянными как по сечению, так и по длине, т.е. сохраняются во всех точках объема, занимаемого телом. Такое напряженное состояние называется однородным. При однородном нап­ряженном состоянии все точки тела находятся в одинаковых уcловиях и

б = N/S=F/S (1)

то есть напряжение численно равно отношению внешней силы F к площади поперечного сечения S стержня. Единица измерения напря­жения Н/м², 1Н/м² называется паскаль (Па).

В рассматриваемом примере направление силы нормально к выб­ранной нами площадке, и возникающее в этом случае напряжение на площадке S является нормальным напряжением.

Для того, чтобы иметь полную картину работы растянутого или сжатого стержня, необходимо установить зависимость между его де­формацией и величиной деформирующей силы. Соответствующие законы можно получить лишь на основании опытов с растяжением и сжатием образцов изучаемого материала; эти же опыты дают возможность изучать и прочность материала, определять его предел прочности и другие характеристики. Для осуществления подобных опытов в лабо­раториях пользуются специальными устройствами, позволяющими де­формировать образцы и доводить их до разрушения, измеряя требуе­мую для этого величину усилий. Одновременно при помощи достаточ­но точных измерительных приборов (в данной работе используется катетометр) производят измерения деформаций образцов.

Деформация растяжения

Опыты приводят к заключению, что пока нагрузка на образец не достигла известного предела, удлинение прямо пропорционально растягивающей силе F, длине образца 1 и обратно пропорционально площади поперечного сечения s (рис. 3). Обозначая через Д1 при­ращение длины образца от силы F, можем написать формулу, связы­вающую между собой эти опытные данные:

где коэффициент а, носящий название коэффициента упругости, за­висит только от материала, из которого сделан стержень. Величина Д1 называется абсолютным удлинением стержня от силы F. Отношение Д1/1 - абсолютного удлинения к первоначальной длине - называется относительным удлинением или относительной деформацией. Формула (2) носит название закона Гука, по имени ученого, впервые отк­рывшего этот закон пропорциональности в 1660 г. Следовательно, по закону Гука величина относительной деформации пропорциональ­на величине деформирующей силы, действующей на единицу площади. Подставив в формулу (2) вместо F/S - величину нормального напря­жения 6(1), получим другое выражение закона Гука:

т.е. напряжение, возникающее в стержне, пропорционально ве­личине относительной деформации.

Наряду с коэффициентом упругости а принято характеризовать материал обратной величиной

которую называют модулем упругости или модулем Юнга.

Из формулы (2) и (4) имеем:

откуда следует: модуль Юнга Е равен напряжению, возникающему при относительной деформации, равной единице. Чем больше величина Е, тем менее растягивается (сжимается) стержень при прочих равных условиях (длине, площади, силе F). Таким образом, физически мо­дуль Е характеризует сопротивляемость материала упругой деформа­ции при растяжении (сжатии).

Так как Д1/1 - относительное удлинение - является безраз­мерной величиной, то из формулы (5) следует, что модуль выража­ется в тех же единицах, что и напряжение б, то есть в Н/м². Для наиболее часто применяемых материалов модуль упругости Е имеет следующие значения:

Сталь (1,99 + 2,15)-10¹¹ Н/м²;

Медь прокатная 1,1-Ю¹¹ Н/м²;

Алюминий (0,63 + 0.75М0¹¹ Н/м²;

Никелин 1,57-Ю¹¹ Н/м²;

Цинк катаный 0, 84 • 10¹¹ Н/м².

Всякое твердое тело дает деформации, подчиняющиеся закону Гука лишь до известного предела. Рассмотрим поведение материалов в опыте на растяжение вплоть до разрушения. Результаты измерений нагляднее всего можно представить в виде так называемой диаграм­мы растяжения. При вычерчивании диаграммы по вертикальной оси откладываются в определенном масштабе нагрузки, а по горизон­тальной - абсолютные удлинения. При растяжении образца из плас­тичного материала (например, малоуглеродистой стали) диаграмма имеет вид, показанный на рис. 4.

Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали (рис.4)

Прямолинейный участок OA соответствует упругим деформациям образца. Ордината F_A представляет собой величину растягивающей силы, соответствующей пределу пропорциональности б_п, т.е. тому наибольшему напряжению, превышение которого вызывает отклонение от закона Гука.

При увеличении растягивающей силы за величину F_A деформация начинает расти быстрее нагрузки - диаграмма имеет криволинейный вид с выпуклостью вверх. Однако до точки В деформации упругие, т.е. образец восстанавливает свою форму после снятия нагрузки. За точкой В появляются неупругие деформации.

'Напряжение, при превышении которого в теле появляются оста­точные деформации, называется пределом упругости б_у; на диаграм­ме нагрузка, вызывающая это напряжение, измеряется ординатой F_B.

Точки А и В настолько близки друг другу, что обычно считают предел упругости и предел пропорциональности совпадающими. Поэ­тому зачастую говорят, что материал следует закону Гука, пока не достигнет предела упругости, хотя правильнее было бы сказать - предела пропорциональности.

При некотором значении растягивающей силы F_c материал "те­чет"; для увеличения деформации почти не нужно увеличивать рас­тягивающую силу. На диаграмме образуется горизонтальная (или почти горизонтальная) площадка.

Напряжение, при котором происходит такое течение материа­ла - рост деформаций при постоянной (примерно) нагрузке, называ­ется пределом текучести б_т.

После образования площадки текучести материал вновь начина­ет сопротивляться дальнейшему растяжению, и для увеличения удли­нения Л1 приходится увеличивать силу. Точка D диаграммы соот­ветствует наибольшей величине нагрузки.

Если снять нагрузку в состоянии, описываемом некоторой точ­кой Z, лежащей между точками С и D, то при разгрузке диаграмма будет изображаться прямой ZL, примерно параллельной прямой OA. Таким образом, образец в этом случае не вернется к первоначаль­ным размерам; отрезок LM будет представлять упругое удлинение, по-прежнему меняющееся пропорционально нагрузке с прежним моду­лем упругости; отрезок 0L - остаточное удлинение и отрезок ОМ - полное удлинение при нагрузке F_z.

Наибольшая величина растягивающей стержень силы изображает­cя ординатой F_d; она часто называется разрушающей нагрузкой,так как необходима для того, чтобы началось разрушение; окончатель­ное же рузрушение происходит при нагрузке, изображаемой на диаг­рамме ординатой F_K точки К.

Напряжение, вызванное наибольшей нагрузкой, носит название предела прочности или временного сопротивления б_в.

При напряжении, превышающем предел прочности, в одном из сечений стержня образуется сужение, называемое шейкой. В даль­нейшем деформация сосредоточивается в этом сечении и возрастает даже при уменьшении растягивающей силы. Это и приводит к разру­шению материала (точка К диаграммы).

Механические характеристики (пределы пропорциональности, упругости, текучести и прочности) характеризуют способность ма­териала сопротивляться стремлению внешних сил деформировать и разрушать образец при растяжении. Если, например, предел проч­ности близок к пределу упругости, то такое тело дает лишь незна­чительные остаточные деформации: оно называется хрупким (напри­мер, закаленная сталь). Тела, способные давать большие пласти­ческие деформации, называются пластичными; так,например, свинцо­вые или цинковые проволоки обнаруживают значительные пластичес­кие деформации.

В настоящей работе требуется определить модуль Юнга по уп­ругой деформации растяжения проволоки длиной 1. Нагрузка созда­ется с помощью i грузов суммарным весом Р_г (здесь и ниже общее обозначение силы F для случая веса заменено на обозначение Р), для определения абсолютной деформации А1 используется катетометр.

3. Описание катетометра

Катетометр КМ-6 предназначен для измерения расстояний между двумя точками на одной вертикали на недоступных для непосредс твенного измерения объектах, расположенных на расстояниях шс кольких десятков сантиметров от объектива зрительной трубы ките тометра [2,3].

Катетометр (рис. 5) состоит из вертикального штатами < км лонкой 1 на треножнике, измерительной каретки 2, зрительной ТрУ бы 3 и отсчетного микроскопа 4. В колонку вмонтирована стеклянная миллиметровая миллиметровая шкала, ось которой строго параллельна оси колонки.

Подъемными винтами 5 треножника колонку можно устанавли­вать по круглому уровню 15 строго вертикально. С помощью ручек 6 колонку можно поворачивать вокруг вертикальной оси. Для точной наводки поворот колонки осуществляется микрометрическим винтом ? при закрепленном винте 8.

Измерительная каретка 2, несущая зрительную трубу 3 и отс- четный микроскоп 4, перемещается по колонке на роликах. Грубое перемещение каретки по вертикали осуществляется от руки при отк­репленном винте 9, точное - с помощью микрометрического винта 10 при закрепленном винте 9.

К атетометр

Зрительная труба 3 укреплена на каретке. Фокусировка трубы на выбранную точку объекта производится вращением маховичка 11, грубая наводка осуществляется с помощью механического визира, состоящего из целика и мушки, укрепленных на тубусе зрительной трубы. Сбоку на тубусе имеется цилиндрический уровень 12, ось которого параллельна визирной оси трубы. Уровень устанавливается в горизонтальное положение микрометрическим винтом 13 путем сов­мещения изображения'концов пузырька, рассматриваемого через лупу 14. При совмещенных половинках пузырька визирная ось зрительной трубы принимает строго горизонтальное положение.

Точная наводка зрительной трубы в горизонтальной плоскости производится поворотом колонки микрометрическим винтом 7 при закрепленном винте 8.

Измерительная система катетометра состоит из зрительной трубы и отсчетного микроскопа с осветительной системой. В фо­кальной плоскости окуляра отсчетного микроскопа установлена масштабная сетка (рис. 7), на которую специальным оптическим устройством проецируется миллиметровая шкала. Масштабная сетка разделена в вертикальном и горизонтальном направлениях на десять частей. Отсчетный микроскоп установлен таким образом, что десять горизонтальных биссекторов сетки укладываются между двумя штри­хами миллиметровой шкалы, следовательно, каждому биссектору в вертикальном направлении соответствует одна десятая доля милли­метра. В горизонтальном направлении десятая часть биссектора равна одной сотой миллиметра. Тысячные доли миллиметра оценива­ются на глаз в долях делений. Измерение расстояний между двумя точками производится с помощью зрительной трубы и отсчетного микроскопа путем сравнения измеряемой длины с миллиметровой шка­лой. А именно, перемещая каретку со зрительной трубой и отсчет- ным микроскопом по 'колонке вдоль миллиметровой шкалы, а также вращая колонку вокруг вертикальной оси, устанавливают трубу на выбранные точки объекта; отсчеты снимают через окуляр отсчетного микроскопа по шкале и масштабной сетке. Длины вертикальных от­резков определяют как разность соответствующих отсчетов по шка­ле. ,

Катетометр снабжен набором сменных насадочных линз. На объ­ектив зрительной трубы надевается та или иная линза в зависимос­ти от расстояния от объекта до измеряемого предмета. Расстояния указаны на оправах линз. Катетометр снабжен также трансформатором для включения в сеть осветительной части отсчетного микрос­копа.