1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью данной работы является: изучение математического ма­ятника (исследование зависимости периода колебаний математичес­кого маятника от его длины и массы) и определение ускорения сво­бодного падения с помощью оборотного маятника.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

2.1. Математический маятник Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно хорошим прибли­жением к математическому маятнику будет устройство, представляю­щее собой небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити (рис. 1).

Математический маятник

Рис. 1

Отклонение маятника от положения равновесия будем характе­ризовать углом , образованным нитью с вертикалью. На маятник действуют внешние силы: сила тяжести и реакция оси подвеса 0. При отклонении маятника от положения равновесия-возникает момент силы относительно оси 0, стремящийся вернуть маятник в положе­ние равновесия. Если сила лежит в плоскости, перпендикулярной данной оси, то ее момент относительно этой оси равен по величине произведению силы на плечо (расстояние от оси до прямой, вдоль которой действует сила). При повороте маятника на угол в одном направлении сила стремится вращать его в противоположном нап­равлении. Следовательно, знак момента силы относительно оси О противоположен знаку угла поворота маятника и sin.

Выражение для вращательного момента М, приложенного к маят­нику, имеет вид

М = -mg I sin. , (1)

где m - масса маятника;

В - ускорение свободного падения;

mg - сила тяжести (P=mg);

1 - длина маятника.

Величина 1 sin - плечо силы Р относительно оси 0.

Для исследования колебаний маятника воспользуемся основным законом динамики вращательного движения

J (2)

где J - момент инерции тела относительно оси вращения 0;

е - угловое ускорение тела (e=d²/dt², t - время);

М - результирующий момент (алгебраическая сумма моментов всех действующих на тело внешних сил относительно оси 0). Момент инерции J играет при вращательном движении тела та­кую же роль, какую масса при поступательном, т.е. является мерой инертности тела при вращательном движении, и характеризует рас­пределение массы по объему тела.

Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат ее расстояния r от этой оси

J =mr² (3)

Для протяженных тел момент инерции определяется как сумма моментов инерции отдельных элементарных масс Δmi, на которые можно разбить тело, т.е.

J = или J= (4)

где интеграл распространяется на весь объем тела.

Момент инерции математического маятника относительно оси подвеса 0. согласно формуле (3), равен

J=ml² (5)

С учетом значений (1) и (5) основной закон динамики (2) для маятника приобретает вид "

(6)

Деля обе части равенства (6) на ml² и вводя обозначение

(7)

получим дифференциальное уравнение колебаний математического ма­ятника

(8)

Уравнение (8) нельзя проинтегрировать по времени при помощи элементарных функций. Поэтому мы ограничимся рассмотрением малых колебаний маятника, считая sin0 Тогда вместо (8) будем иметь следующее приближенное дифференциальное уравнение малых колебаний маятника:

(9)

Общее решение этого уравнения имеет вид

где А и а - произвольные постоянные, определяемые по начальным условиям движения.

Величина А, т.е. наибольшее значение угла отклонения маятника от вертикали, называется амплитудой колебания,- sinо - циклической частотой (, v - частота колебаний), аргумент ()- фа­зой колебания, а величина - начальной фазой колебания (значе­ние фазы в начальный момент, т.е. при t=0).

Таким образом, при малых колебаниях угловое отклонение ма­тематического маятника изменяется со временем по гармоническому закону. При больших углах отклонения маятник будет совершать сложное колебательное движение. Как следует из уравнения (7) частота о при малых колебаниях маятника зависит от его длины и от ускорения свободного падения и не зависит от массы маятника. Период малых колебаний математического маятника, если заменить о его значением (7), будет определяться формулой

(10)

Период колебаний маятника при малых амплитудах не зависит от амплитуды. Это свойство называется изохронностью колебаний маятника(открыто Г. Галилеем -в 1583 г.).

Физический маятник

Физическим маятником называется твердое тело, которое может вращаться (качаться) вокруг неподвижной оси 0 под действием собс­твенного веса (рис. 2).

Рассмотрим колебания с учетом формы и расположения отдель­ных элементов массы маятника. На маятник, отклоненный от положе­ния равновесия, действуют внешние силы: сила тяжести и реакция оси подвеса 0. Трением в оси пренебрегаем. Реакция оси подвеса не имеет момента относительно оси вращения. Момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия, равен

,

где m - масса маятника;

1 - расстояние между точкой подвеса 0 и центром масс маятни­ка С.