Методика изучения признаков равенства треугольников.
Материал параграфа «Признаки равенства треугольников» занимает центральное место в содержании курса геометрии 7 класса. Велика его роль и для дальнейшего изучения геометрии. Во-первых, доказательство теорем параграфа знакомит учащихся с многошаговыми дедуктивными обоснованиями, что служит развитию логического мышления учащихся. Во-вторых, при изучении темы закладывается фундамент важнейшего метод доказательств – применения признаков равенства треугольников. Поэтому при изучении темы максимум усилий должно быть направлено на формирование у всех учащихся умений доказывать равенство треугольников с опорой на признаки.
Во всех школьных учебниках признаки равенства треугольников рассматриваются до введения понятия движении фигур, и свойства движений для доказательства признаков не используется. Применявшаяся же в школьном преподавании геометрии идеи «наложения» (и «приложения») одного треугольника на другой _ очень наглядная и близкая интуитивным представлениям учащихся – не является строгим математическим метолом доказательства. Доказательства, опирающихся на эту идею, по существу, является лишь наглядным соображением, убеждающими учащихся в правильности признаков. При этом использование аксиомы существования треугольника, равного данному, заменяющей идею наложения треугольников, делает этим доказательства не менее наглядным, чем в традиционном изложении.
Закрепление формулировок теорем и навыков их применения должно происходить в процессе решения задач. Следует иметь в виду, что формирование умений учащихся использовать признаки равенства как аппарат геометрического доказательства будет продолжаться и при изучении последующих разделов курса. В этой же теме их формирование только начинается, поэтому на данном этапе обучения основной целью естественно поставить формирование умений решать такие задачи, где в явном виде указано то равенства треугольников, которое нужно доказать.
Естественно, что в ходе изучения темы круг решаемых задач не должен ограничиваться только задачами обязательного уровня. Необходимо начать формировать у учащихся и умения более высокого уровня, с именно умения самим распознавать равные треугольники, доказать их равенство, делать вывод о равенстве некоторых их элементов.
Первый признак равенства треугольников.
Доказательство первого признака равенства треугольников отличается от традиционного тем, что вместо наложения одного из данных треугольников на другой (т.е. использование в неявном виде идеи движения) рассматривается некий третий треугольник, равный одному из данных и определенным образом расположенный относительно второго. Существование этого треугольника следует из аксиомы VI. В результате рассуждений доказывается, что он полностью совпадает со вторым данным треугольником, что позволяет сделать вывод о равенстве исходных треугольников.
В результате изучения первого признака равенства треугольников учащиеся должны знать:
Знать формулировку и доказательство первого признака равенства треугольников;
Уметь применять его при решении задач. Это значит, что учащиеся должны уметь находить треугольники, у которых соответственно равны две стороны и угол между ними, и делать вывод о равенстве этих треугольников.
При решении задач этого параграфа, для того чтобы сослаться на теорему о первом (втором, третьем) признаке равенства треугольников, учащиеся должны обязательно указывать три пары равных элементов и только после этого делать вывод о равенстве треугольников по соответствующему признаку.
При условии выделения трех пар равных элементов треугольников ссылка может быть не обязательно содержательной (по двум сторонам и углу между ними), но и формальной (по первому признаку равенства треугольников).
При решении задач полезно одинаково помечать на чертеже равные элементы.