Математические понятия и методика их формирования в обучении

1. Три основные формы мышления.

Прочное усвоение математических знаний невозможно без целенаправленного развития мышления. Поэтому развитие мышления – одна из задач современного школьного обучения. Структуру отдельных мыслей и их особых сочетаний называют формами мышления. Принято считать, что в мышлении можно выделить 3 основные формы: понятие, суждение и умозаключение.

Понятие – это форма мышления, в которой отражаются существенные признаки объектов, относящихся к данному понятию. Например, «Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны» (определение понятия «медиана треугольника»).

Суждение – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предметов, о связи между ними и их свойствами или отношениях между ними. Например, «В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой» (теорема).

Умозаключение – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений получается новое суждение. Например, доказательство любой теоремы, например теоремы о медиане равнобедренного треугольника, представляет собой цепочку умозаключений.

2. Основные характеристики понятия.

В речи понятие выражается словами-существительными или словосочетаниями.

Основные характеристики понятия – это его объем и содержание. Объём понятия – это множество всех объектов, которые относятся к данному понятию. Содержание понятия – это множество всех существенных признаков предметов, относящихся к данному понятию.

Например, объём понятия «треугольник» соединяет в себе множество всевозможных треугольников (остроугольные, прямоугольные, тупоугольные), содержанием данного понятия будет характеристическое свойство «наличие трех сторон, трех вершин, трех углов».

Объём понятия «чётное число» соединяет в себе множество всех чётных чисел, содержанием данного понятия является признак «число, делящееся на 2».

Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем – с помощью классификации. Умение указать объём понятия выявляется с помощью заданий типа: «Приведите примеры различных треугольников (параллелограммов, десятичных дробей и т.д.)». Умение указать содержание понятия проверяется с помощью заданий следующего вида: «Сформулируйте определение треугольника (параллелограмма, десятичной дроби и т.д.)».

Имеет место закон обратного отношения между объёмом и содержанием родственных понятий: чем больше объём понятия, тем меньше его содержание. Так, например, если увеличить содержание понятия «параллелограмм» (добавить перпендикулярность диагоналей), то сразу уменьшится его объём (остаются лишь ромб и квадрат). Если уменьшить содержание этого понятия (потребовать параллельности только двух противоположных сторон), то увеличится его объём (к названным четырёхугольникам добавится трапеция).

3. Классификация понятий.

Процесс выяснения объёма понятия называется классификацией понятия. Классификация обычно представляет собой последовательное разбиение множества на два класса с помощью некоторого свойства, называемого основанием классификации (двучленное деление, или «дихотомия», в терминах классической логики). Методически полезными могут оказаться и схемы без слов. Для наглядного представления классификации можно воспользоваться и так называемыми диаграммами Эйлера – Венна. С помощью диаграмм Эйлера – Венна можно выполнить широкое разнообразие упражнений, способствующих систематизации знаний учащихся, правильному пониманию отношений между различными понятиями.

Возможная схема классификации треугольников по величине угла:

1) Треугольник, у которого все углы острые (остроугольный треугольник).

2) Треугольник, у которого не все углы острые:

– имеется прямой угол (прямоугольный треугольник);

– не имеется прямого угла (тупоугольный треугольник).

Возможная схема классификации натуральных чисел по числу их делителей:

1) Натуральные числа, имеющие не больше двух делителей (простые числа и единица);

2) Натуральные числа, имеющие больше двух делителей (составные числа).

Правильная классификация предполагает соблюдение определённых условий, а именно:

1. Классификация должна проводиться по определённому признаку, остающемуся неизменным в процессе классификации. В последнем примере таким признаком является число простых делителей данного натурального числа.

2. Понятия, получающиеся в результате классификации, должны быть взаимно независимыми. В последнем примере это выражается тем, что пересечение множеств простых, составных чисел и единицы пусто.

3. Сумма объёмов понятий, получающихся при классификации, должна равняться объёму исходного понятия. В последнем примере числа простые, составные и единица исчерпывают всё множество натуральных чисел.