Действующее и среднее значения синусоидальных величин

При практическом использовании переменного электрического тока широко применяют действующие значения тока (ЭДС, напряжения). Большинство расчетов проводится с использованием действующих значений величин. Шкалы большинства приборов проградуированы в действующих значениях измеряемых величин и в паспортных данных на электротехнические приборы приводятся действующие значения токов и напряжений.

Действующее значение I переменного тока (ЭДС, напряжения), или действующий ток (ЭДС, напряжение) – это среднее квадратичное значение тока (ЭДС, напряжения) за период Т:

. (5.3)

Действующим значением I переменного тока называется такое значение постоянного тока, при прохождении которого через резистивный элемент, на нем за период Т выделится такое же количество энергии, что и при прохождении переменного тока.

Для синусоидального тока установим соотношение между амплитудным и действующим токам. Для интеграла тока запишем:

. (5.4)

Поскольку , перепишем (5.4) в виде: и подставив результат в (5.3) получим: .

Аналогично действующие значения ЭДС и напряжения: и .

Таким образом действующие значения синусоидальных величин в раз меньше их амплитудных значений.

В ряде случаев при анализе и расчете процессов в цепях требуется знать средние значения переменных токов (ЭДС, напряжений).

Среднее значение тока (ЭДС, напряжения) – это среднее арифметическое значение тока (ЭДС, напряжения) за интервал времени. Для синусоидальных величин в качестве интервала времени выбирают половину периода, т.е. , т.к. среднее значение синусоидальной величины за период равно нулю. Среднее значение синусоидального тока:

. (5.5)

Аналогично для ЭДС и напряжения: , .

5.2 Электрическая цепь переменного тока с резистивным элементом

Пусть в электрической цепи с резистивным элементом R (рис. 5.4) ток изменяется по синусоидальному закону: . Для упрощения начальная фаза тока принята равной нулю ( ). Тогда напряжение на резистивном элементе:

. (5.6)

где – амплитудное значение напряжения на резисторе.

R

i

U_R

Рис.5.4

Векторная и угловая диаграммы тока и напряжения на резистивном элементе приведены на рис. 5.5.

π/2

U_m U_m

I_m

I_m π/2 0 π 2π

I_m U_m 0 π/2 ωt

Рис. 5.5

Поскольку начальные фазы тока и напряжения равны нулю, то разность фаз тока и напряжения на резистивном элементе равна нулю ( ) и следовательно векторы напряжения и тока совпадают по направлению.

Мгновенная и средняя мощность в цепи с резистивным элементом

Записав определение мощности для мгновенных значений тока и напряжения и подставив в него значения тока и напряжения из (5.6) получим:

. Учитывая, что , а , где – действующие значения напряжения и тока, окончательно получим:

. (5.7)

Диаграммы тока, напряжения и мощности резистивного элемента приведены на рис. 4.6.

Средняя (активная) мощность, потребляемая резистивным элементом, определяется как произведение действующих значений напряжения и тока:

(5.8)

P

U, I, P

P=UI

i

π/2 π 3π/4 2π ωt

U

Рис. 5.6