5.8 Резонанс напряжений и токов в электрических цепях

Резонансом напряжений называют такой режим в электрической цепи, содержащей последовательно включенные катушки индуктивности и конденсаторы, при котором ее входное реактивное сопротивление равно нулю.

Резонансом токов называют такой режим в электрической цепи, содержащей параллельно включенные катушки индуктивности и конденсаторы, при котором ее входная реактивная проводимость равна нулю.

Резонанс напряжений

Резонанс напряжений возможен в цепи, приведенной на рис.5.21.

C

R L

U_C

U_R U_L

U

i

Рис.5.21

Резонанс наступает при равенстве реактивных сопротивлений и . Реактивные сопротивления зависят от угловой частоты и при некоторой частоте , называемой резонансной индуктивное и емкостное сопротивления цепи станут равны. При этом полное реактивное сопротивление цепи равно нулю:

. (5.40)

Определим резонансную частоту, преобразовав (5.40):

. (5.41)

На резонансной частоте цепь обладает только активным сопротивлением. Ток в цепи максимален и равен:

. (5.42)

Резонанс токов

Резонанс токов возможен в цепи, приведенной на рис.5.22.

R₁ L

U_R1 U_L

• •

R₂ C

U i

U_R2 U_C

Рис.5.22

Резонанс наступает при равенстве реактивных проводимостей и . Реактивные проводимости зависят от угловой частоты и при некоторой частоте , называемой резонансной индуктивная и емкостная проводимости цепи станут равны. При этом токи катушки индуктивности и емкости будут равны и противоположно направлены, а результирующий ток будет равен нулю. Резонансная частота равна:

. (5.43)

5.9 Представление синусоидально изменяющихся электрических величин комплексными числами

Синусоидально изменяющуюся электрическую величину можно представить комплексным числом и изобразить в виде вектора на комплексной плоскости с прямоугольной системой координат (рис. 5.23, а).

Комплексное число состоит из действительной (вещественной) и мнимой частей. По оси ординат откладывают дей­ствительную часть комплексного числа, а ось обозначают +1 и -1; по оси абсцисс — мнимую часть комплексного числа, а ось обозначают j и - j.

На комплексной плоскости синусоидальная величина может изображаться в виде модуля и аргумента или в виде двух составляющих вектора, направляемых по действительной и мнимой осям. Например, синусоидальный ток представляют вектором , модулем кото­рого является значение амплитуды тока I_m, а аргументом – начальная фаза , которую можно выражать в радианах или в градусах (рис. 5.23, а).

Составляющими вектора по действительной оси будет , а по мнимой т. е. _.

рис. 5.23, а рис. 5.23, б

Вектор называют комплексной амплитудой тока.

Обычно при расчетах пользуются действующими значениями. Комплекс действующего значения электрической величины получают путем деления комп­лексной амплитуды на :

Комплексы действующих значений кратко называют комплексом величины, например комплекс тока, комплекс напряжения и т. д.

Пример:

Запишем выражение для мгновенного значения тока, если комплекс­ный ток , частота тока f=50 Гц, ω=2πf=2×3,14×50=314 рад/c

В этом случае амплитуда тока I_m аргумент ψ_i . Амплитудное значение тока . Аргумент определяем через = 3/4 (рис. 5.23, а). По тригонометрической таблице находим ψ_i = 37°. В результате мгновенное значение тока запишем в виде .

Если надо сложить или вычесть синусоидальные величины одинаковой частоты, применяют два способа: графический и аналитический. Например, найдем аналитическим способом сумму двух эдс:

и

Решение задачи сводится к нахождению амплитуды E_m и ар­гумента ψ суммарной эдс . Эта сумма соответствует сумме проекций на действительную и мнимую оси комплексной плоскости (рис. 5.23, б):

Проекции и , найденные в результате суммирования соответствующих проекций векторов и будут действительной и мнимой составляющими комплексной амплитуды Модуль результирующей эдс: . Аргумент ψ определяется из выражения .

При построении векторных диаграмм точно фиксируют угол сдвига между векторами, а положение их относитель­но осей комплексной плоскости может быть произвольным, поэтому оси можно не изображать. При этом для удобства анализа и построения векторных диаграмм начальный фазовый угол одной из электрических величин (чаще напря­жение источника электрической энергии) принимают равным нулю.

При анализе электрических цепей переменного тока прихо­дится иметь дело с умножением и делением электрических ве­личин. В этом случае удобно пользоваться комплексами этих величин, записанными в показательной форме:

_,

где e^iψ — оператор поворота единичного вектора относительно оси действительных величин. Например, произведение и частное имеют такой вид:

Для единичного вектора тока (I=1А) и значений ψ_i = 0; π/2; -π/2; π имеем:

Отсюда следует, что умножение на j означает поворот вектора на +90⁰(в сторону, противоположную направлению движения стрелки часов). При умножении на j²=j*j вектор поворачивается на +180⁰ и занимает направление, обратное исходному положению. Умножение на –j означает поворот вектора на угол -90⁰(по часовой стрелке).