7. Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).

Теорема (о предельном переходе в неравенстве). Если каждая из последовательностей и сходится и , то

.Д о к а з а т е л ь с т в о с учетом леммы 1 устанавливается от противного.

Замечание. Из того, что , и , в общем случае, следует только, что

,а не то, что .Для этого достаточно рассмотреть, например, следующие последовательности и :

Теорема 3 (принцип двух милиционеров). Если

,

а последовательности и сходятся и имеют один и тот же предел, то сходится и последовательность ,при этом.

. Д о к а з а т е л ь с т в о (самостоятельно) Пусть и . (8)

Требуется доказать, что (9)

Для этого выберем произвольное и покажем, что такое, что

. (10)

Поскольку имеют место равенства (8), то найдется такой номер , что и ,а так как , то отсюда следует, что .Следовательно ,что равносильно (10), а это в силу произвольности Þ (9) □

8. Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.

П р и м е р 1. , если q > 1.Действительно, здесь = , . Поэтому

= ,

(1)

а так как = = = < 1,то найдется номер N, такой, что при > N будем иметь и следовательно, при тех же , < . Следовательно, если отбросить первые N членов рассматриваемой последовательности, то оставшиеся ее члены будут составлять монотонно убывающую последовательность, которая к тому же ограничена снизу (все ее члены положительные) и в силу этого сходится (теорема 3). Поскольку отбрасывание конечного числа членов последовательности не влияет на ее сходимость, то это означает, что сходится и исходная последовательность.Найдем теперь ее предел. Пусть . Тогда с учетом равенства (1) будем иметь = ∙ = .Поэтому = 0 и, следовательно, = 0 □С л е д с т в и е 1. = 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. При фиксированном по доказанному в 1-м примере (здесь ). Поэтому найдется такое, что при будем иметь и, следовательно, при .А тогда при

и тем более при .В силу произвольности это и означает, что = 1 С л е д с т в и е 2. = 1 при любом а > 0.П р и м е р 2. = 0 (здесь - любое действительное число, , )

17. Критерий Коши существования предела функции.

Теорема (критерий Коши). Пусть функция определена на множестве и (конечная или бесконечная) точка сгущения этого множества. Для того, чтобы существовал предел

(1)

необходимо и достаточно, чтобы существовала такая окрестность точки , что для любых

.

(2)

Доказательство. Необходимость. Пусть  и . Это означает, что для любого  > 0 существует такое  > 0, что для всех точек  справедливо неравенство

  .Выберем x1X и x2X так, чтобы выполнялись условия . Тогда имеем . □Достаточность. Пусть функция  такова, что для любого  > 0 существует такая окрестность точки x0, что для всех точек  из этой окрестности справедливо неравенство

  .Покажем, что отсюда следует существование у функции f конечного предела в точке x0. Возьмём какую-либо последовательность  и произвольно зададим >0. Для этого , согласно сделанному предположению, существует такая окрестность точки x0, для всех точек  из которой справедливо неравенство

  .Поскольку последовательность xn сходится к x0, существует такое N, что все xn при n > N попадают в указанную окрестность точки x0. Поэтому для всех n > N, m > N

  ,т. е. числовая последовательность  удовлетворяет условиям критерия Больцано–Коши для числовых последовательностей и, следовательно, сходится.

Таким образом, для каждой последовательности , последовательность  сходится. Отсюда, как известно, следует существование конечного предела . □