46. Условия монотонности функции.

Теорема 1. Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда имеют место следующие импликации:

⇒ ⇒ , (1)

⇒ ⇒ , (2)

⇒ ⇒ , (3)

⇒ ⇒ . (4)

⇒ ⇒ , (5)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что (5) следует из (2) и (3). Следовательно нужно доказать лишь (1)-(4).

Левые импликации в (1)-(5) доказываются на основе формулы конечных приращений Лагранжа. Выберем произвольные точки . По теореме Лагранжа найдется такая точка , что

Отсюда, в частности, следует, что если , то . В силу произвольности выбранных точек , это означает, что функция возрастает на . Таким образом, доказана левая из импликаций (1). Аналогично доказываются левые импликации в (2)-(4).Правые импликации в (1)-(4) доказываются на основе определения производной. Пусть, например, функция возрастает на . Тогда для любого и любого такого, что имеем

.Переходя здесь к правостороннему пределу в точке , по теореме о предельном переходе в неравенстве получим .Так как выше точка была выбрана произвольно, то это означает, что имеет место правая из импликаций (1). Аналогично доказываются правые импликации в (2)-(4) □ Замечание 1. Импликации (2), (3) и (5) для дифференцируемой на интервале функции имеют смысл необходимых и достаточных условий и могут быть записаны в виде:

⇔		(2’)
⇔	(3’)
⇔	(5’)

Вместе с тем отметим, что левые из импликаций (1) и (4) не обратимы, что иллюстрирует приводимый ниже пример.

47. Условия экстремума функции.

Необходимое условие локального экстремума доставляет теорема Ферма. Очевидно, она допускает следующее усиление.Теорема 1. Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней локальный экстремум, то либо функция не дифференцируема в точке , либо

(1)

Определение 1. Если дифференцируемая в точке функция удовлетворяет условию (1), то эта точка называется стационарной точкой функции ..Теорема 2 (достаточное условие локального экстремума в терминах первой производной). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , непрерывна в самой точке и дифференцируема в проколотой окрестности этой точки. Тогда если при “переходе” через точку “слева на право” производная меняет знак с плюса на минус, то в точке функция имеет локальный максимум. Если же при таком переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то в точке она имеет локальный минимум. Наконец, если при переходе через точку производная не меняет своего знака, то в этой точке нет локального экстремума.Теорема 3 (достаточное условие локального экстремума в терминах высших производных). Пусть функция раз дифференциркема в точке ( ). Тогда если ₍₂₎и , то при нечетном в точке нет локального экстремума, а при четном есть, при этом в последнем случае (т.е. при , ) если , то в этой точке она имеет локальный максимум, а если , то она имеет в ней локальный минимум.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу условия (2) локальная формула Тейлора функции в точке имеет вид

, а поскольку , где при , то ее можно переписать в виде

.

(3)

Теперь заметим, что если разность , стоящая здесь слева не меняет знака при переходе через точку , то в этой точке функция имеет локальный экстремум, а если при таком переходе эта разность меняет знак, то в точке нет локального экстремума. Далее сделаем следующее важноеЗамечание А. Так как при и , то в достаточно малой окрестности точки знак выражения, стоящего в квадратных скобках в формуле (3), будет неизменным и будет совпадать со знаком производной . Поэтому в указанной окрестности правая, а значит и левая часть формулы (3), будет менять свой знак тогда и только тогда, когда меняет свой знак многочлен , а он очевидно при переходе через точку меняет свой знак, когда - нечетное и не меняет его, когда - четное. Таким образом, резюмируя сказанное заключаем, что 1) если - четное, то разность не меняет свой знак в окрестности и, следовательно, функция имеет в этой точке локальный экстремум; 2) если же - нечетное, то разность меняет свой знак в окрестности и, следовательно, функция не имеет в этой точке локального экстремума .Тип локального экстремума в точке при - четном определяется знаком разности : если он положительный, т.е. если (см.(3) и замечание А), то в точке функция имеет локальный минимум, а если он отрицательный, т. е. если , то в ней она имеет локальный максимум □