29. Дисперсия и среднее квадратическое (стандартное) отклонение
Дисперсия -в математической статистике и теории вероятностей, наиболее употребительная мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего.
Сумма квадратов отклонений от среднего является основой для вычисления относительного показателя-дисперсии в простейшем случае несгруппированных данных или дисперсия для сгруппированных данных и для интервальных рядов.
Среднее-квадратическое отклонение(стандартное отклонение)-это корень квадратный из дисперсии.
В отличие от дисперсии, этот показатель, также показывающий степень вариации признака, имеет размерность самого признака, а не его квадрата, что представляет определенное удобство. Далее мы увидим, что стандартное отклонение имеет важное значение в теории оценивания неизвестных параметров (например, среднего генеральной совокупности) и в теории ошибок выборочного наблюдения.
Еще одним важным показателем, характеризующим вариацию признака и позволяющим сравнить вариации различных совокупностей, является коэффициент вариации.
Дисперсия характеризуетсядвумя важными и весьма полезными для ее вычисления свойствами
уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину не меняет величину дисперсии.
Уменьшение всех значений признаков в к раз уменьшает величину дисперсии в к2 раз, а СКО в к раз
если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А отличающийся от средней арифметической, то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений исчисленного из средней арифметической. Таким образом от средней всегда меньше исчисленной от любой другой величины т.е. она имеет свойство минимальности. СКО=1,25 -при распределениях близких к нормальному.
В условиях нормального распределения существует следующая зависимость между и количеством наблюдений в пределах находится 68,3% наблюдений.
В пределах находится 95,4% наблюдений
В пределах находится 99,7% наблюдений
30.t-распределение Стьюдента
t-распределение Стьюдента - это непрерывное одномерное распределение с одним параметром - количеством степеней свободы. Форма распределения Стьюдента похожа на форму нормального распределения (чем больше число степеней свободы, тем ближе распределение к нормальному). Отличием является то, что хвосты распределения Стьюдента медленнее стремятся к нулю, чем хвосты нормального распределения.
Обычно распределение Стьюдента появляется в задачах, связанных с оценкой математического ожидания нормально распределенных случайных величин. Пусть X1 , ..., Xn - независимые случайные величины, нормально распределенные с математическим ожиданием μ и дисперсией σ 2. Тогда мы можем получить следующие оценки для параметров μ и σ 2:
При этом оценка математического ожидания не равна в точности μ, а лишь колеблется вокруг этой величины. Разность истинного математического ожидания и рассчитанного на основе выборки, поделенная на масштабирующий коэффициент
имеет распределение, которое называется распределением Стьюдента с N степенями свободы. Есть и другие разделы статистики, в которых появляются случайные величины, распределенные по Стьюденту. Например, распределение Стьюдента используется при оценке значимости коэффициента корреляции Пирсона.