37. Поняття про чисельні та символьні методи обчислення.

Методи аналізу економічних процесів можна умовно розбити на три основні класи: чисельні, символьні, чисельно-символьні.

Символьні методи дозволяють одержати символьні вирази для функцій кола в залежності від параметрів його компонентів. Але такі символьні вирази мають велику кількість доданків у вигляді добутків параметрів компонентів n-го порядку, що робить ці вирази громіздкими. Необхідність одержання чисельних оцінок результату при обчисленнях з кінцевою розрядністю за такою аналітичною формулою також часто призводить до накопичення операційних похибок. До того ж, при сучасних вимогах до проектування кіл необхідно обчислювати і контролювати багато функцій кіл, які можуть бути обчислені лише послідовно у вигляді великої кількості громіздких виразів.

Чи́сельні ме́тоди — методи наближеного або точного розв'язування задач чистої або прикладної математики, які ґрунтуються на побудові послідовності дій над скінченною множиною чисел. Основні вимоги до чисельних методів, щоб вони були стійкими та збіжними.

Чисельні методи — це методи обчислення розв’язку рівнянь рівноваги (приведення матриці розв’язків до трапецевидного вигляду, LU — розклад, обернення матриці за Гаусом та спорідненими методами). Головною перевагою цих абстрактно-математичних методів є їх простота та відносно велика швидкодія. Але обмежена розрядність операндів часто призводить до великої похибки обчислень. Збільшення розрядності таку похибку зменшує, але призводить до великих додаткових витрат часу на обчислення.

Чисельні методи називаються стійкими, якщо результати неперервно залежать від вхідних даних задачі або якщо похибка округлення залишається обмеженою при заданих межах зміни параметрів чисельних методів.

Чисельні методи називаються збіжними, якщо результати прямують до точного розв'язання задачі при прямуванні параметрів чисельних методів до певних граничних значень.

Основне питання теорії чисельних методів: отримання чисельних методів, які задовольняють вимогам високої точності, стійкості та економічності. Складання чисельних методів, що задовольняють цим вимогам, представляє собою складну задачу оптимізації чисельних методів.

Основні види чисельних методів:

Чисельні методи націлені на скорочення обсягу обчислень при збереженні якості результатів. Найбільш ефективними чисельними методами в цій області відносяться методи, які застосовують швидке перетворення Фур'є.

Для розв'язань задач апроксимації та обчислення функцій різних класів застосовують чисельні методи інтерполювання, найменших квадратів, ортогоналізації, врівноваження значень, умовної мінімізації та ін. Найбільш актуальним є методи кусково многочленної та раціональної сплайнової апроксимації, а також адаптивної апроксимації та нелінійної за параметром апроксимації.

Чисельне інтегрування та диференціювання відбувається із означення відповідних операцій, однак з урахуванням необхідності економії обсягу обчислень та з урахування некоректності задачі диференціювання з'являється велика кількість чисельних методів для різних класів функцій та різного роду вихідних даних.

Чисельні методи можна поділити за способом дискретизації на проекційні, скінченно-різницеві та проекційно-різницеві, а за способом розв'язання лінійної системи — на прямі методи, ітераційні методи та комбіновані.

Чисельно-символьні методи використовують додаткову інформацію про структуру аналізованої схеми, що дозволяє одержувати чисельно-символьний результат. При цьому використовуються явні символьні залежності чисельних значень визначників і елементів оберненої матриці від символів деяких параметрів компонентів кола. До цієї групи методів в роботі віднесені метод сумарних алгебраїчних доповнень, метод взаємних похідних, та метод модифікацій обернення матриці. Метод модифікацій для обернення матриць складається в попередньому розбитті вихідної схеми на підсхеми “розриванням” віток .