![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Программа курса
- •Введение Цели и задачи теории автоматического управления
- •Классификация систем автоматического управления
- •Терминология. Основные понятия
- •Математическое описание сау и ее элементов
- •Линеаризация статических характеристик
- •Динамические характеристики звена
- •Свойства преобразования Лапласа
- •Передаточная функция звена
- •Связь оператора s с физикой
- •Частотные характеристики звеньев
- •Логарифмические частотные характеристики лах и лфх
- •Регулярные сигналы
- •Переходная характеристика звена
- •Весовая функция
- •Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья
- •Типовые звенья. Характеристики звеньев
- •Идеальное усилительное звено
- •Реальное усилительное звено
- •Идеальное дифференцирующее звено
- •Реальное дифференцирующее звено
- •Интегрирующее звено
- •Форсирующее звено
- •Квазиинерционное звено
- •Звенья второго порядка. Передаточные функции
- •Частотные характеристики звеньев второго порядка
- •Звено чистого запаздывания
- •1.Преобразования структурных схем Правила переноса
- •Последовательное соединение звеньев
- •Параллельное соединение звеньев
- •Встречно –параллельное соединение звеньев
- •Передаточные функции в системах автоматического управления
- •1.1.Передаточная функция разомкнутой системы
- •2.Устойчивость систем автоматического управления
- •2.1.Понятие устойчивости системы
- •2.2.Критерии устойчивости
- •2.3.Алгебраический критерий устойчивости Раусса. 1875г.
- •2.4.Критерий устойчивости Гурвица. 1895 г.
- •2.5.О критическом коэффициенте усиления
- •3.Частотные критерии устойчивости
- •3.1.Принцип аргумента
- •3.2.Критерий устойчивости Михайлова
- •3.3.Частотный критерий устойчивости Найквиста
- •Обобщенная формулировка критерия Найквиста
- •3.4.Логарифмический критерий устойчивости (Найквиста)
- •3.5.О применении критериев устойчивости
- •4.Свойства систем автоматического управления
- •4.1.Структурная устойчивость (неустойчивость)
- •4.2.Запас устойчивости
- •4.3.Область устойчивости
- •4.3.1.Метод д-разбиения
- •4.4.Оценка качества регулирования
- •4.4.1.Показатели качества переходной характеристики
- •4.4.2.Точность в установившихся режимах
- •4.4.3.Интегральные оценки качества
- •4.4.4.Оценка качества переходного процесса по расположению нулей и полюсов передаточной функции
- •4.4.5.Влияние расположения нулей и полюсов на переходную характеристику
Математическое описание сау и ее элементов
Для анализа и синтеза САУ необходимо иметь математическое описание систем. Для этой цели системы разделяются на отдельные элементы (звенья, подсистемы) и составляются уравнения, описывающие поведение этих элементов. Уравнения составляются на основании анализа физических, химических, технологических, экономических, социальных и иных процессов, происходящих в конкретных элементах. Используются соответствующие законы (закон сохранения массы, энергии, вещества и пр.), применяются специальные исследования и экспериментальные методы для получения математического описания звеньев систем.
Все математические модели (ММ) разделяются на:
ММ стационарных и нестационарных САУ;
ММ САУ с распределенными и сосредоточенными параметрами;
Статические характеристики;
Динамические ММ в виде
Дифференциальные уравнения;
Разностные уравнения (для дискретных САУ);
Передаточные функции (ММ в виде структурной схемы);
Временные и частотные характеристики.
Линеаризация статических характеристик
Статическая
характеристика - связывает входную
величину с выходной звена, когда все
остальные величины постоянны (при
установившихся внутренних процессах):
Y
= F(X);
Линеаризация проводится, если в окрестности некоторой рабочей точки (х0,y0) линеаризованная функция непрерывна:
если члены старших порядков отбросить, то получаем:
или
Отсюда:
;
;
;
;
.
Линеаризация проводится с погрешностью! обязательно в окрестности некоторой (рабочей) точки.
Динамические характеристики звена
Позволяют описать поведение звена (системы) во времени. Разделяются на дифференциальные и разностные уравнения. Для случая многомерного звена данные уравнения связывают входные и выходные переменные и их производные (сколь угодно большого порядка). Данные математические модели могут быть как в виде одного уравнения, так и в виде систем уравнений. В одномерном случае имеет место связь между одной входной и одной выходной переменными и их производными:
.
Применяя формулу Тейлора и отбрасывая старшие производные (2-й степени и выше) получаем:
,
или линейное уравнение с постоянными коэффициентами, с учетом того, что
:
.
Такое уравнение
описывает поведение звена только в
окрестности некоторой точки
.
При значительном
удалении от точки линеаризации данное
уравнение как правило несправедливо.
Полученное уравнение также называется
уравнением в отклонениях или уравнением
вариации. Практически
и
заменяют на x
и y.
Тогда окончательно имеем дифференциальное
уравнение:
,
или
в операторной форме
.
Откуда
получается :
.
Можно
обозначить Q(p)
=
-
собственный полином,
R(p)
=
-
входной полином.
При наличии возмущений уравнение, описывающее звено, усложняется:
,
а в операторной форме:
,
или
,
где
- полином возмущения.
Полученные уравнения носят названия уравнения вход-выход.
Уравнения исследуются методами:
аналитическим,
численным,
операторным,
частотным.
Аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений исследуются в соответствующих разделах математического анализа и вычислительной математики.
Операторный
метод
базируется на использовании оператора
Лапласа (или Карлсона). Преобразование
Лапласа-Карлсона основано на применении
понятий оригинала
и
изображения
.
Оригинал - функция вещественного аргумента.
Изображение - функция комплексного аргумента.
Для того, чтобы функция была оригиналом, она должны удовлетворять условиям Дирихле:
Функция f(t) растет ограниченно в рассматриваемом промежутке:
.
На рассматриваемом промежутке времени функция ограничена сверху и снизу (имеет max и min).
На рассматриваемом промежутке функция имеет конечное число разрывов первого рода. Разрывы второго рода отсутствуют.
При соблюдении всех этих условий функция является оригиналом.
Для
получения изображения используется
прямое преобразование Лапласа:
.
С помощью данного преобразования переходят к изображению:
;
=ℒ
;
;
=ℒ
;
Обратное
преобразование по Лапласу:
.