2.5.О критическом коэффициенте усиления

; ; ;

;

.

(так как К > 0).

Неравенство .

Откуда ; При K_КРИТ = 8 _.

Следовательно, в системе для обеспечения ее устойчивости должно выполняться неравенство К < K_КРИТ .

3.Частотные критерии устойчивости

Основаны на использовании записи уравнений в форме Лапласа, когда в характеристическом полиноме системы (полиноме знаменателя передаточной функции) оператор Лапласа s заменяется на j.

Первоначально рассмотрим принцип аргумента.

3.1.Принцип аргумента

Полином можно разложить на множители, тогда . Корни находятся из уравнения .

Среди n корней уравнения n-m - левых, m- правых. Граничные корни можно отнести к правым корням.

1) Пусть все корни уравнения - вещественные.

Значит, находятся на вещественной оси.

При изменении  от 0 до

а ргумент (угол вектора ) изменится на - для левого корня, на - - для правого корня.

2) В случае пары комплексных корней при изменении  от 0 до суммарное изменение аргумента составит:

для правых корней и :

;

для левых корней и

.

В целом приращение аргумента (по правилу перемножения комплексных чисел) составит: .

Для устойчивости системы необходимо потребовать, чтобы корни были только левые (m = 0).

Тогда система будет устойчива, если при изменении  от 0 до приращение аргумента будет равно: .

3.2.Критерий устойчивости Михайлова

Характерной особенностью данного метода является то, что об устойчивости системы судят по поведению годографа Михайлова исследуемой системы:

• - для разомкнутой системы;

• - для замкнутой системы.

Под годографом понимается кривая, которую описывает конец вектора или на комплексной плоскости при изменении  от 0 до . Здесь и - полиномы знаменателей соответствующих передаточных функций.

На основании принципа аргумента формулируется критерий Михайлова:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора Михайлова для замкнутой и для разомкнутой системы) при изменении  от 0 до + повернулся в положительном направлении на угол (/2)n или, иначе, пересек по очереди n квадратов без пропусков.

Все эти годографы (и системы соответственно) устойчивы.

Эти системы неустойчивы, так как вектор годографа Михайлова вращается в отрицательном направлении.

Система неустойчива, так как квадранты проходятся непоследовательно.

Система находиться на границе устойчивости. При подсчете порядка системы каждое прохождение годографа через 0 повышает порядок на 1.

Следствие из критерия Михайлова:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни мнимой и вещественной частей годографа Михайлова перемежались.

Если корни не перемежаются, то система неустойчива.

Если характеристическое уравнение не имеет какого либо члена, то система также неустойчива.