
- •Программа курса
- •Введение Цели и задачи теории автоматического управления
- •Классификация систем автоматического управления
- •Терминология. Основные понятия
- •Математическое описание сау и ее элементов
- •Линеаризация статических характеристик
- •Динамические характеристики звена
- •Свойства преобразования Лапласа
- •Передаточная функция звена
- •Связь оператора s с физикой
- •Частотные характеристики звеньев
- •Логарифмические частотные характеристики лах и лфх
- •Регулярные сигналы
- •Переходная характеристика звена
- •Весовая функция
- •Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья
- •Типовые звенья. Характеристики звеньев
- •Идеальное усилительное звено
- •Реальное усилительное звено
- •Идеальное дифференцирующее звено
- •Реальное дифференцирующее звено
- •Интегрирующее звено
- •Форсирующее звено
- •Квазиинерционное звено
- •Звенья второго порядка. Передаточные функции
- •Частотные характеристики звеньев второго порядка
- •Звено чистого запаздывания
- •1.Преобразования структурных схем Правила переноса
- •Последовательное соединение звеньев
- •Параллельное соединение звеньев
- •Встречно –параллельное соединение звеньев
- •Передаточные функции в системах автоматического управления
- •1.1.Передаточная функция разомкнутой системы
- •2.Устойчивость систем автоматического управления
- •2.1.Понятие устойчивости системы
- •2.2.Критерии устойчивости
- •2.3.Алгебраический критерий устойчивости Раусса. 1875г.
- •2.4.Критерий устойчивости Гурвица. 1895 г.
- •2.5.О критическом коэффициенте усиления
- •3.Частотные критерии устойчивости
- •3.1.Принцип аргумента
- •3.2.Критерий устойчивости Михайлова
- •3.3.Частотный критерий устойчивости Найквиста
- •Обобщенная формулировка критерия Найквиста
- •3.4.Логарифмический критерий устойчивости (Найквиста)
- •3.5.О применении критериев устойчивости
- •4.Свойства систем автоматического управления
- •4.1.Структурная устойчивость (неустойчивость)
- •4.2.Запас устойчивости
- •4.3.Область устойчивости
- •4.3.1.Метод д-разбиения
- •4.4.Оценка качества регулирования
- •4.4.1.Показатели качества переходной характеристики
- •4.4.2.Точность в установившихся режимах
- •4.4.3.Интегральные оценки качества
- •4.4.4.Оценка качества переходного процесса по расположению нулей и полюсов передаточной функции
- •4.4.5.Влияние расположения нулей и полюсов на переходную характеристику
3.3.Частотный критерий устойчивости Найквиста
Частотный
критерий Найквиста дает возможность
определить устойчивость замкнутой
системы по АФЧХ ее разомкнутой цепи
(разомкнутой системы)
.
Ниже показано, как определяется
передаточная функция разомкнутой
системы
для
случая единичной и неединичной обратной
связи.
Следовательно,
об устойчивости замкнутой системы с
передаточной функцией
будем судить по передаточной функции
разомкнутой системы
,
а именно по поведению годографа
.
Рассмотрим вспомогательную передаточную функцию
, где обозначено
.
Пусть
порядок полинома
равен n
и порядок
полинома
,
причем
(в основном так и бывает). Тогда порядок
полинома
также будет равен n.
Различают
три возможных ситуации:
не содержит правых или нулевых корней, то есть разомкнутая система устойчива.
имеет хотя бы один правый корень, следовательно, система в разомкнутом состоянии неустойчива.
Все корни левые, но есть и корни на мнимой оси (нейтральная система).
Задача. Определить условия, при которых в замкнутом состоянии система будет устойчива в каждом из трех случаев.
Случай 1. Число правых корней равно 0. Все корни - левые. Разомкнутая система устойчива.
.
Для устойчивости замкнутой системы
(это наше требование) необходимо, что
все корни полинома
- левые, то есть
.
Применим
к
принцип аргумента. При изменении
от 0 до
изменение величины фазового сдвига
составляет (в соответствии с правилами
деления комплексных чисел):
.
При
устойчивой замкнутой системе приращение
.
Получили кривую , не охватывающую начало координат:
Если учесть, что
,
следовательно
,
или
.
Таким образом в плоскости
получаем:
Точка
(
)
на плоскости
преобразовалась в точку (
) на плоскости
.
Вывод. Для устойчивости замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы при изменении от 0 до не охватывал критическую точку с координатой ( ).
На рисунке приведены годографы разомкнутых систем, устойчивых и в замкнутом состоянии.
Характеристики, обозначенные цифрами 1 и 2, соответствуют системам, устойчивым как в разомкнутом, так и в замкнутом состоянии. Для этих систем уменьшение коэффициента усиления отодвигает характеристику от опасной зоны. Характеристика 3 - условно устойчивая система. В условно устойчивой системе уменьшение коэффициента усиления может привести к неустойчивости замкнутой системы.
На следующем рисунке приведен годограф системы, неустойчивой в замкнутом состоянии.
При
выходной сигнал отстает от сигнала на
входе системы на 1800,
то есть находится с ним в противофазе.
Если
=1
(как на рисунке), то при замыкании системы
с ООС сигнал x0,
равный алгебраической сумме q
и y,
не будет ни усиливаться, ни ослабляться.
Система будет находиться на границе
устойчивости.
Если
,
то сигнал будет циклически усиливаться.
Система становится неустойчивой, даже
если снять входной сигнал.
Случай 2. Система в разомкнутом состоянии неустойчива.
Полином
имеет m1
правых корней,
n-m1
- левых. На основании принципа аргумента:
.
Следовательно,
для устойчивости замкнутой системы,
неустойчивой в разомкнутом состоянии,
необходимо и достаточно, чтобы годограф
АФЧХ разомкнутой системы при изменении
от 0 до
,
двигаясь в положительном направлении
(против часовой стрелки),
раз охватил критическую точку
.
Случай
3. В разомкнутом
состоянии имеются корни на мнимой оси
(нулевые корни).
Передаточная
функция разомкнутой системы
причем
,
или
.
Пусть r
=1. Если нулевой корень сдвинуть влево
на малую величину
,
тогда передаточная функция примет вид
,
а частотная характеристика будет
определяться выражением
.
Дальнейшие рассуждения при получении
критерия устойчивости базируются на
рассмотренном выше
случае 1:
Начальный
радиус точки при
есть
.
Если устремить
,
то начальное значение АФЧХ также
изменится:
.
Следовательно, предельное стягивание
корня на свое исходное положение
обеспечивает увеличение начального
радиуса до
,
но интегрирующее звено обеспечивает
сдвиг по фазе на угол -900.
Вывод.
Для устойчивости замкнутой системы,
имеющем в разомкнутом состоянии все
левые точки, а также 1 или несколько
нулевых корней, необходимо и достаточно,
чтобы при изменении
от 0 до
критическая точка
не охватывалась годографом АФЧХ
разомкнутой системы вместе с ее
дополнением.
Дополнением
является дуга с
,
повернутая от оси вещественных корней
на угол
.