14. Расчет нелинейных индуктивных цепей по мгновенным значениям (аналитический метод расчета).

СМ 11-12

15. Метод эквивалентных синусоид. Расчет катушки со стальным сердечником методом эквивалентных синусоид.

Во многих случаях для упрощения анализа токи и напряжения в катушке с ферромагнитным сердечником принимают синусоидальными, т.е. вводят эквивалентные синусоиды. Это дает возможность рассчитать эквивалентные параметры катушки, строить векторные диаграммы, рассмотреть резонансные случаи.

Выясним, какую форму должна иметь кривая Ψ(i), если напряжение на катушке и ток в ней заменены эквивалентными синусоидами. В этом случае э.д.с., индуктированная в обмотке катушки и соответствующее потокосцепление Ψ ( магнитный поток Φ) также будут синусоидальны. В катушке с сердечником из проводящего материала, не обладающего ферромагнитными свойствами, при синусоидальном изменении потокосцепления ток также был бы синусоидальным. В этом случае явление гистерезиса отсутствовало бы, но в сердечнике существовали бы вихревые токи. Потокосцепление отставало бы от тока на угол, лежащий в пределах от 0 до π/2, и график зависимости Ψ(i) имел бы эллиптическую форму (рис. 8.50). Площадь эллиптической петли определяет потери в материале сердечника за период. В катушке с сердечником из ферромагнитного материала одновременно имеются и вихревые токи и явление гистерезиса, зависимость Ψ(i) представляет собой нечто промежуточное между эллипсом и гистерезисной кривой.

Рис. 8.50

Замена несинусоидальных кривых напряжения и тока соответствующими эквивалентными синусоидами связана с заменой истинной кривой Ψ(i) эквивалентным эллипсом, площадь которого, пропорциональная энергии, теряемой в сердечнике за один период, должна быть равна площади истинной кривой. Эллипс, эквивалентный гистерезисной петле, в предположении, что напряжение на катушке синусоидально, будет отличаться от эллипса, в предположении, что ток в катушке синусоидален.

Замечание: Иногда оказывается более целесообразным не прибегать к эквивалентным синусоидам, а использовать замену несинусоидальной кривой тока или напряжения выделенной из неё первой гармоникой.

16. Схема замещения (последовательная и параллельная) катушки со стальным сердечником. Последовательность расчета параметров схемы замещения.

Несинусоидальные токи и напряжения в катушке с ферромагнитным сердечником заменим эквивалентными синусоидами для расчета эквивалентных параметров, учитывающих потери на гистерезис и вихревые токи, построения векторных диаграмм

На рис. 8.55 изображена схематично катушка с ферромагнитным сердечником: Φ_s  - поток рассеяния, Φ  - основной поток, замыкающийся в ферромагнитном сердечнике, u_ф(t) - напряжение на катушке. При допущении о равенстве активного сопротивления обмотки нулю (R_М=0 ) напряжение на входе цепи равно напряжению на катушке  u(t)=u_ф(t), при равенстве нулю потока рассеяния ( Φ_s=0) напряжение на входе связано с основным потоком соотношением .

Рис. 8.55

Эквивалентная схема замещения катушки (последовательная и параллельная) представлена на рис. 8.56.

Рис. 8.56

Дано: Действующее значение напряжения U, частота f, количество витков w, площадь сечения магнитопровода S, масса материала магнитопровода M, зависимости P₀(B_m) и Q₀(B_m)

Определить параметры схемы замещения катушки (последовательной и параллельной).

Решение:

1. Рассчитаем индукцию при заданном значении напряжения, частоте и количестве витков: .

2. По зависимостям P₀(B_m) и Q₀(B_m) определим удельные потери.

3. Составляющие тока и параметры схемы замещения: , .

 

Для параллельной схемы замещения: G_ст=I_a/U, B_ст=I_p/U, комплексная проводимость Y_ст=G_ст-jB_ст. Для последовательной схемы замещения Z_ст=1/Y_ст=R_ст+jX_ст.

Эквивалентные параметры зависят от значения B_m и эта зависимость нелинейная.               

При необходимости учета активного сопротивления обмотки и потока рассеяния схему замещения и векторную диаграмму необходимо дополнить (рис. 8.57).

Рис. 8.57

Приложенное напряжение U, кроме составляющей U_ф, уравновешивающей э.д.с., индуктированную в обмотке катушки основным потоком Φ, будет иметь составляющую R_MI и составляющую jX_sI, уравновешивающую э.д.с., индуктируемую в обмотке потоком рассеяния Φ_s.

Более простой является задача, если пренебрегают потоком рассеяния, т.е. индуктивное сопротивление рассеяния  принимают равным нулю X_s=0.

Эквивалентная схема замещения катушки с учетом активного сопротивления обмотки R_M (последовательная и параллельная) представлена на рис. 8.58.

Рис. 8.58

Дано: Действующие значения напряжения и тока U, I, активная мощность Р, активное сопротивление обмотки R_M.

Определить параметры схемы замещения катушки (последовательной и параллельной).

Решение:

1. Для последовательной схемы замещения активные потери P=(R_M+R_ст)I², .

2. Входное сопротивление . Модуль входного сопротивления . Определяют .

3. Определяют комплексное сопротивление, учитывающее потери в магнитопроводе на гистерезис и вихревые токи: Z_ст=R_ст+jX_ст.

4. Модуль напряжения U_ф=IZ_ст. Комплекс напряжения U_ф  принимают U_ф=U_ф<0. Комплексная проводимость Y_ст=1/Z_ст=G_ст - jB_ст. Для параллельной схемы замещения: I_a=U_фG_ст, I_p=U_фB_ст. Угол потерь tgδ=I_a / I_p.

5. Напряжение на входе U=R_MI+U_ф. Векторная диаграмма показана на рис. 8.59.

Рис. 8.59

 

При учете активного сопротивления обмотки и потока рассеяния необходимо знать амплитуду магнитного потока катушки Φ_m или индукции B_m. Эквивалентная схема замещения катушки с учетом активного сопротивления обмотки R_M и индуктивного сопротивления рассеяния (последовательная и параллельная) представлена на рис. 8.59a.

Рис. 8.59a

Дано: Действующие значения напряжения и тока U, I, активная мощность Р, активное сопротивление обмотки R_M, амплитуда магнитного потока катушки Φ_m, частота f, количество витков w.

Определить параметры схемы замещения катушки (последовательной и параллельной).

Решение:

1. Действующее значение напряжения U_ф=4,44fwΦ_m.

2. Активная проводимость параллельной схемы замещения . Активная составляющая тока I_a=U_фG_ст. Реактивная составляющая тока . Реактивная проводимость B_ст=I_p/U_ф. Комплексная проводимость Y_ст=G_ст- jB_ст.

3. Определяют комплексное сопротивление, учитывающее потери в магнитопроводе на гистерезис и вихревые токи: Z_ст=1/Y_ст=R_ст+ jX_ст.

4. Реактивная мощность катушки .

5. Намагничивающая мощность в магнитопроводе Q_ст=I_pU_ф.

6. Реактивная мощность, обусловленная потоком рассеяния Q_s=Q- Q_ст. Индуктивное сопротивление рассеяния X_s=Q_s/ I².

7. Комплекс напряжения U_ф принимают U_ф=U_ф<0.  Комплекс тока I=I_a+jI_p. 

8. Напряжение на входе U=R_MI+jX_sI+U_ф. Векторная диаграмма показана на рис. 8.60.

 

Рис. 8.60

Замечание: Если задано напряжение U, то определить U_ф, соответствующее заданному режиму, без Φ_m или  B_m  нельзя. В таком случае необходимо вести расчет итерационным методом (последовательных приближений) или графически.