11. Катушка со стальным сердечником. Форма кривых тока, напряжения и потока (питание от источника тока).

Потери на гистерезис. Рассмотрим потери на гистерезис в катушке с ферромагнитным сердечником, длина средней линии которого l , площадь сечения S  и число витков w . Для упрощения считаем активное сопротивление обмотки и поток рассеяния равными нулю. В этом случае , . Активная мощность катушки при указанных допущениях будет равна потерям на гистерезис:

Интеграл  определяет площадь гистерезисной петли и может быть найден по приближенной формуле . Таким образом, потери на гистерезис P_Г = fVσ_ГBⁿ_m, где V=lS - объем материала магнитопровода; σ_Г - коэффициент, зависящий от сорта стали; n=1,6  при 0,1 ≤ B_m ≤ 1  Тл, n=2 при 1 ≤ B_m ≤ 1,6  Тл. Потери на гистерезис можно уменьшить за счет улучшения качества ферромагнитного материала, т.е. за счет снижения коэффициента σ_Г.

Потери на вихревые токи. Вихревые токи возникают в ферромагнитном материале сердечника под влиянием электрического поля, наводимого переменным магнитным полем. Кроме потерь энергии вихревые тока производят размагничивающее действие, которое сильнее сказывается в середине магнитопровода. Допущение, что в каждый момент времени магнитная индукция одинакова во всех точках поперечного сечения равносильно пренебрежению размагничивающим действием вихревых токов. Для уменьшения потерь энергии от вихревых токов магнитопровод собирают из отдельных электрически изолированных один от другого листов. При введенных допущениях потери от вихревых токов могут быть найдены по формуле:

PВ = σВf2VBnm,

где V=lS - объем материала магнитопровода; σ_В - коэффициент, зависящий от сорта стали и размеров стальных листов.

То обстоятельство, что потери на гистерезис P_Г  пропорциональны первой степени частоты, а потери на вихревые токи P_В  - второй степени частоты позволяет отделить потери на гистерезис от потерь на вихревые токи, если известны суммарные потери в ферромагнетике:

Pфер = PГ + PВ = fVσГBnm + σВf2VBnm,

для двух или более значений частоты при одинаковом значении B_m.

Вследствие появления вихревых токов связь между потокосцеплением и током видоизменяется, узлы гистерезисной петли закругляются.  Чем больше влияние вихревых токов, тем ближе кривая к эллипсу. Площадь эллиптической петли определяет потери в материале сердечника за период. Если в сердечнике одновременно имеются и вихревые токи и явление гистерезиса, то зависимость Ψ(i) представляет собой нечто промежуточное между эллипсом и гистерезисной кривой. Форма этой кривой изменяется с изменением частоты, приближаясь при ее уменьшении к гистерезисной петле, при увеличении – к эллипсу.

При исследовании установившихся режимов в катушке с ферромагнитным сердечником пренебрегают активным сопротивлением обмотки и потоками рассеяния. При пренебрежении вихревыми токами (гистерезисом) зависимость B(H) - основная кривая намагниченности. При графическом решении строят зависимость Ψ(i), которая повторяет форму кривой B(H): используют пропорциональность между H и i (i(t) = ΣHl/w) и пропорциональность между B и Ψ (Ψ = wBS). Здесь w - количество витков катушки, l  и S  -средняя длина участка магнитопровода и средняя площадь сечения.

Различают намагничивание катушки от источника напряжения и намагничивание от источника тока.

 

Намагничивание от источника синусоидального напряжения

Пусть катушка с ферромагнитным сердечником подключена к источнику напряжения u(t)=U_mcos(ωt)=U_msin(ωt+π/2) (рис. 8.43).

При сделанных допущениях без учета гистерезиса  u(t) = dΨ/dt , следовательно, в установившемся режиме Ψ(t)=Ψ_msin(ωt)  будет синусоидальной функцией времени, причем Ψ_m = U_m/ω .  Расположим графики как  показано на рис. 8.44. и построим по точкам искомую кривую тока (графическое решение).

Рис. 8.43
	Рис. 8.44

Если амплитуду приложенного напряжения уменьшить, то с уменьшением Ψ_m = U_m/ω нелинейность катушки будет проявляться в меньшей степени и кривая тока будет близка к синусоидальной. С ростом U_m  кривая тока становится резко несинусоидальной, принимая все более заостренную форму. В силу симметрии характеристики Ψ(i) кривая i(t) содержит только нечетные гармоники. При расчетах часто используют формулу, связывающую действующее значение входного напряжения и значение максимального потока (или индукции) в магнитопроводе:

При аналитическом расчете реальную характеристику i(Ψ) или i(Φ) аналитически аппроксимируют полиномом i(Φ) = a₁Φ + a₃Φ³ ( коэффициенты a₁ и a₃  в простейшем случае находят из рассмотрения рабочего участка, определяемого амплитудой входного напряжения). Так как Φ(t)=Φ_msin(ωt), Φ_m=U_m/(ωw), то i(t)=a₁Φ_msin(ωt)+a₃(Φ_msin(ωt))³. Из тригонометрии известно, что . Тогда мгновенное значение тока:

При аналитической аппроксимации полиномом кривая тока содержит первую и третью гармоники i(t)=I_1msin(ωt)-I_3msin(3ωt) . Заостренная форма кривой тока получается потому, что максимумы первой и третьей гармоник совпадают при ωt=π/2 и т.д.

При учете гистерезиса форма кривой тока резко несинусоидальная, несимметрична относительно оси ординат. Момент прохождения потокосцепления через нуль отстаёт от момента прохождения тока через нуль, в то время как максимума потокосцепление и ток достигают в один момент времени (рис. 8.45). Выделив основную гармонику тока, можно убедиться, что кривая потокосцепления отстает от основной гармоники тока на некоторый угол δ, называемый гистерезисным углом.

Рис. 8.45