19. Переходные процессы в нелинейных цепях. Особенности, методы расчета.

Переходные процессы в нелинейных цепях существенно отличаются от переходных процессов в линейных цепях  Режимы могут быть устойчивыми и неустойчивыми. Возможны скачкообразные изменения режимов. Возможен режим автоколебаний, т.е. возбуждение колебаний  в системе с постоянными э.д.с. (источниками напряжения или тока). Возникновение того или иного режима в нелинейной цепи зависит не только от параметров цепи, характеристик нелинейных элементов, но и от начальных условий.

9.1. Особенности расчета переходных процессов в нелинейных цепях

Для расчета переходного процесса в нелинейной цепи необходимо:

1. рассчитать предшествующий процессу режим и, далее, пользуясь законами коммутации определить независимые начальные условия цепи;

2. пользуясь законами Кирхгофа и компонентными уравнениями или характеристиками всех элементов цепи, включая нелинейные элементы, составить систему уравнений, описывающих переходной процесс;

3. осуществить решение полученных нелинейных уравнений.

При расчете процессов в нелинейных цепях нельзя:

1. использовать принцип суперпозиции, т.е. представлять решение уравнений цепей       в виде суммы частных решений уравнений, обусловленных действием отдельных источников энергии цепей;

2. искать решение нелинейных уравнений цепей в виде сумм свободных и принужденных, либо преходящих и установившихся составляющих этих решений;

3. использовать операторный метод расчета.

9.2. Выход на установившийся режим

Если в линейных цепях  установившийся режим не зависит от начальных условий (потокосцеплений индуктивных элементов и зарядов емкостных элементов цепи), а длительность процесса известна заранее ((3 – 5)τ_max, где  τ_max - максимальная постоянная времени), то в нелинейных цепях отсутствует понятие постоянных времени и в общем случае невозможно по параметрам схемы оценить время переходного процесса. В таких цепях установившихся режимов может быть несколько, либо не быть вообще. В первом случае выход на конкретный режим определяется начальными условиями и даже небольшая ошибка в их определении может расчет переходного процесса привести к неистинному режиму. Во втором случае – случае возникновения в цепи хаотических колебаний, требуется умение их идентифицировать, иначе расчет можно продолжать бесконечно долго. Кроме того,  установившийся режим может оказаться неустойчивым, т.е.  малейшее его возмущение, обусловленное, например,  вычислительными погрешностями его расчета, приводит к возникновению нового переходного процесса. 

20. Аналитические методы расчета переходных процессов в нелинейных цепях (метод условной линеаризации, кусочно-линейной аппроксимации).

Получение конечных аналитических решений нелинейных уравнений цепи возможно лишь в редких частных случаях. В общем случае такие уравнения решаются численно по стандартным алгоритмам. Однако результаты численного расчета не дают качественной картины процессов – связи их характера со значениями параметров схемы и функциями источников, что необходимо для инженерной практики. В этой связи весьма ценными, наряду с численными методами, становятся численно-аналитические методы расчета переходных процессов: метод условной линеаризации и методы аналитической и кусочно-линейной аппроксимации. В этих методах путем введения упрощающих допущений  нелинейные уравнения цепей аппроксимируют линейными, допускающими аналитические решения, уравнениями. Качественные методы позволяют провести анализ основных признаков переходного процесса, не решая системы нелинейных дифференциальных уравнений. Качественное исследование – это выявление общих свойств исследуемой цепи без интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений. Под общими свойствами понимают выяснение зависимости характера переходного процесса от начальных условий, возможности возникновения автоколебаний, резонансных явлений, исследование устойчивости режимов.

1) Метод условной линеаризации

Методика использования этого метода заключается в замене нелинейных вольтамперных, вольт-кулонных и вебер-амперных характеристик нелинейных резистивных, емкостных и индуктивных элементов на рабочем участке линейной характеристикой с последующим  формированием системы линейных уравнений цепи.

Рассмотрим задачу расчета переходного процесса, возникающего в цепи после размыкания ключа (рис. 9.1). Нелинейный элемент – катушка с ферромагнитным сердечником, задана однозначная зависимость Ψ(i).

Рис. 9.1

Составим дифференциальное  уравнение цепи после коммутации:   где R = R₁ + R₂.

Определим рабочий участок характеристики Ψ(i). В момент коммутации (t = 0) ток в катушке не изменяется скачком,  т.е. ,  в установившемся режиме .

Таким образом, начальная точка а на рабочем участке (рис. 9.1) имеет координаты:    i(0)= I₀,    Ψ(0) = Ψ₀;  конечная точка с имеет координаты i(∞) = I_∞; Ψ (∞) = Ψ_∞. Во время переходного процесса значения тока и потокосцепления меняются в пределах: I₀≤  i(t) ≤ I_∞ и Ψ₀≤  Ψ(t) ≤ Ψ_∞.

Рис. 9.2

Заменим характеристику Ψ(i) на рабочем участке (рис. 9.2) отрезком ас прямой (не проходящей через начало координат), уравнение которой , где  L_э – эквивалентная индуктивность участка.  Эквивалентную индуктивность определим по приращениям: .

Подставив  в исходное дифференциальное уравнение цепи  уравнение  получим:  Найдем его решение в виде Ψ(t) = Ψ_уст+Ae^pt, где . Корень   характеристического уравнения: p=-R/L_э  с^–1. Из   условия  Ψ(0_- ) = Ψ(0₊ ) = Ψ₀ находим постоянную интегрирования  А. Таким образом, Ψ(t) = Ψ_∞+(Ψ₀ - Ψ_∞)e^pt. Для тока  .

 

2) Метод кусочно-линейной аппроксимации

Для повышения точности расчета рабочий участок характеристики заменим отрезками нескольких прямых, в рассматриваемой задаче по условию отрезками ab, bc (рис. 9.2). Расчет для каждого участка выполним так же, как  для линейной цепи. Постоянные интегрирования найдем из условия непрерывности изменения рассматриваемой величины при переходе с одного участка на другой. Для каждого участка определим момент времени, соответствующий переходу на следующий участок.

Рассмотрим решение на каждом участке.

I.  Первый участок ab.  На этом участке в интервале времени 0≤ t ≤ t₁ значение тока  и потокосцепления изменяются в пределах I₀≤  i(t) ≤ I_b и Ψ₀≤  Ψ(t) ≤ Ψ_b , т.е. эквивалентная индуктивность на первом участке .

Переходной ток на линейном участке определим классическим методом:  где  корень характеристического уравнения  c⁻¹. Из  условия i(0₊) = i(0_–) = I₀ находим постоянную интегрирования A_I. Время t₁, соответствующее моменту перехода на второй участок определим из условия i(t₁) = I_b: .

II. Второй участок bс. На этом участке в интервале времени  t₁≤ t ≤ ∞ значение тока  и потокосцепления изменяются в пределах  I_b ≤  i(t) ≤ I_∞ и Ψ _b ≤  Ψ(t) ≤ Ψ_∞, т.е. эквивалентная индуктивность на втором участке: .

Ток при t ≥ t₁   , корень характеристического уравнения р₂ = − (R₁ + R₂)/L_II  c⁻¹. Учитывая, что i(t₁) = I_b,  находим постоянную интегрирования A_II .

На втором участке вследствие насыщения (L_II< L_I) постоянная времени меньше, чем на первом.