17. Определение несобственного интеграла первого рода и его свойства.

Пусть функция определена бесконечном промежутке и пусть для существует определенный интеграл, а именно:

, очевидно этот интеграл является функцией верхнего предела :

Определение: несобственным интегралом первого рода для функции на промежутке называется

=

обозначение:

по определению: =

Если предел справа конечный, то данный интеграл называют сходящимся, а значения этого предела будут значением данного интеграла, в противном случае интеграл называют расходящимся.

При выяснении того сходится либо расходится интеграл первого рода можно пользоваться свойствами.

1 свойство. Пусть на промежутке тогда из того что сходится сходимость и при этом

Если же - расходится, то и -также расходится.

2 свойство. Если же на промежутке сходится, то сходится, и при этом последний интеграл называется – абсолютно-сходящимся интегралом.

18. Определение несобственного интеграла второго рода и его свойства.

Пусть функция определена на промежутке и причем она неограниченна на правом конце промежутка, это значит, что

Пусть также на любом отрезке существует определенный интеграл

Определение: несобственным интегралом второго рода на промежутке называется

Обозначение:

По определению:

Пусть теперь функция неограниченна на левом конце промежутке , т.е.

рассуждая аналогично получим

Пусть теперь функция неограниченна в некоторой внутренней точке С отрезка , т.е.:

Тогда

Для сходимости интеграла слева необходимо и достаточно сходимость интеграла справа.

Свойства несобственного интеграла второго рода:

1 свойство. Пусть на промежутке тогда из того что сходится сходимость и при этом

Если же - расходится, то и -также расходится.

2 свойство. Если же на промежутке сходится, то сходится, и при этом последний интеграл называется – абсолютно-сходящимся интегралом.

19. Понятие n-мерного Евклидова пространства.

Рассмотрим множество всевозможных наборов из n-действительных чисел. Каждый набор будем обозначать так:

Это множество называется n- мерным арифметическим пространством. Каждый набор будем называть точкой, а числа - координатами этой точки.

Пусть имеем две точки:

;

; арифметического пространства, тогда

Определение: Расстоянием между точками и называется число удовлетворяющее следующим условиям:

1.

2. –симметричность.

3. - неравенство треугольника.

Это число определяется так:

В этом случае n- мерное арифметическое пространство называется Евклидовым пространством.

Обозначение: .

Если n=1, то имеем Евклидову прямую;

Если n=2, то имеем Евклидову плоскость;

Если n=3, то имеем Евклидово трёхмерное пространство.