Вопросы к экзамену по математическому анализу.
1. Определение определённого интеграла. Геометрический и механический смысл определённого интеграла.
2. Необходимое условие существования определённого интеграла.
3. Нижние и верхние интегральные суммы Дарбу. Их свойства.
4. Необходимое и достаточное условие существования определённого интеграла.
5. Некоторые классы функций, для которых существует определённый интеграл.
6. Некоторые свойства определённого интеграла.
7. Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о непрерывности этого интеграла.
8. Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о дифференцируемости.
9. Формула Ньютона- Лейбница.
10. Замена переменной в определённом интеграле.
11. Интегрирование по частям в определённом интеграле.
12. Понятие квадрируемой фигуры и её площади.
13. Свойства квадрируемых фигур.
14. Понятие спрямляемой плоской кривой и её длины. Достаточное условие спрямляемости плоской кривой(сформулировать теорему).
15. Вычисление объёма тела вращения(с рисунком).
16. Вычисление площади поверхности вращения.
17. Определение несобственного интеграла первого рода и его свойства.
18. Определение несобственного интеграла второго рода и его свойства.
19. Понятие n-мерного Евклидова пространства.
20.
Множества в пространстве
.
21. Понятие действительной функции нескольких действительных переменных.
22. Действительная функция двух действительных переменных.
23. Предел функции двух действительных переменных. Повторные пределы.
24. Непрерывность функции двух действительных переменных.
25. Определение частной производной функции двух переменных. Механический смысл.
26. Определение дифференцируемой функции двух действительных переменных и полного дифференциала. Необходимое условие дифференцируемости функции двух действительных переменных.
27. Достаточное условие дифференцируемости двух действительных переменных.
28.Дифференцирование сложной функции.
29. Частные производные высших порядков.
30. Восстановление функции по её полному дифференциалу.
31. Дифференциалы высших порядков для функции двух переменных.
32. Определение производной по направлению. Теорема.
33. Градиент функции. И его свойства.
1.Определение определенного интеграла.
Механический и геометрический смысл интеграла.
Пусть функция
определена на отрезке
.
Отрезок
произвольно разобьем на n-частей
точками х0=а<х1<x2<…<xk<xk+1<….<xn=в.
Обозначим через
– длина отрезка
,
.
На каждом отрезке
произвольно выберем точку tк.
Запишем сумму
Сумму
называют интегральной
суммой Римана
построенной для функции
на отрезке
.
Таких сумм можно построить бесконечное
множество. Построим последовательность
таких сумм, при условии что
Определение:
Если существует конечный придел
независящий от способа разбиения отрезка
точками
и от выбора точек
на отрезках
,
то этот придел называют определенным
интегралом
для функции
на отрезке
и обозначают:
Итак, по определению:
числа
и
называют
соответственно нижним
и верхним пределами
интегрирования,
функцию
называют интегрируемой
по Риману
на отрезке
,
а отрезок
называют отрезком
интегрирования.
Определенный интеграл-это число.
Геометрический смысл определенного интеграла есть площадь криволинейной трапеции, а механический смысл определенного интеграла есть работа.