6. Некоторые свойства определённого интеграла
1)
2)
=0.
3)
=
.
4)
=k
.
5)
=
±
.
6) если
,
тогда
7) если
на отрезке
,то
.
8) если существует
,
то существует
и при этом
.
9) пусть
,
тогда
10)
справедливо равенство
11) теорема о среднем значении функции
пусть
,
тогда найдется число
,
m≤µ≤M,
что будет выполнятся равенство
7.Определение интеграла с переменным верхним пределом.
Теорема о непрерывности
Пусть существует
,
тогда он будет существовать согласно
свойства 10 на любом отрезке
где
,
получим интеграл
,
если x изменяется от а до b, то значение этого интеграла будет меняться, получим функцию
,
где
,
функцию
называют интегралом
с переменным верхним пределом.
Теорема о непрерывности функции:
если функция f(x) интегрируема на отрезке , то функция непрерывна на отрезке .
Доказательство.
Воспользуемся
определением непрерывности функции в
виде:
Пусть х- любая
точка отрезка [a,b].
Точке х дадим приращение
получим точку х+
.
Запишем приращение функции
Тогда
по
определениюФ(х) непрерывна в точке х.
Так как х произвольная точка отрезка
[a,b]
то Ф(х) непрерывна на отрезке [a,b].
Доказано.
8.Опредидение интеграла с переменным верхним пределом.
Теорема о дифференцируемости
Пусть существует , тогда он будет существовать согласно свойства 10 на любом отрезке где , получим интеграл
,
если x изменяется от а до b, то значение этого интеграла будет меняться, получим функцию
, где ,
функцию называют интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема о дифференцируемости:
если функция
непрерывна на отрезке
,
то функция
дифференцируема на отрезке
и при этом
.
Доказательство.
Так как
непрерывна на отрезке [a,b],
то
.
По определению производной Ф’(x)=
так как
то при
окончательно
получим Ф’(x)=f(x),
Доказано.
Ф’(x)=f(x) означает что Ф(x) является первообразной для функции f(x) на отрезке [a,b] поэтому эту теорему называют ещё и теоремой существования первообразной для непрерывной функции.
9. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция
непрерывна на отрезке
,
тогда согласно предыдущей теоремы (о
дифференцируемости функции
) для неё существует первообразная
функции на отрезке
,
а именно
Пусть
– какая-нибудь другая первообразная
для функции
Первообразные
и
отличаются друг от друга на постоянную
С,
,
или
Найдём значение С.
Пусть x=a,
получим
так как
Тогда
Пусть x=b,
получим
Формула
Ньютона-Лейбница.
Обозначим
ab
В окончательном виде получим формулу Ньютона-Лейбница –
ab
Чтобы вычислить
определённый интеграл с помощью формулы
Ньютона-Лейбница нужно каким-то образом
найти какую-нибудь первообразную функции
f(x),
а затем найти разность
