26. Функция и плотность распределения непрерывного двумерного случайного вектора

Если функция распределения случайного вектора дважды непрерывно дифференцируема, то такое распределение этого вектора назовем непрерывным. В этом случае вектор можно задать с помощью плотности распределения, которая определяется как предел некоторой средней плотности

Можно показать что, плотность распределения – это вторая смешанная частная производная от функции распределения :

Если задана плотность распределения вероятностей f(x, y) случайного вектора , то функцию распределения этого вектора находим интегрированием:

Плотность распределения обладает свойствами:

1.

2.

3. Вероятность того, что случайная точка попадает в область D при известной области распределения, находится по формуле

27. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины

Пусть у нас имеется случайный вектор , распределение которого задается таблицей:

					1

Рассмотрим функцию распределения СВ X при условии, что Y приняло значение , . Эту обозначают . Найдем вероятность того, что X приняло значение , когда Y приняло значение : .

Аналогично

.

В случае непрерывного распределения вектора появляются условные плотности распределения X, когда , и Y, когда , то есть и . Можно показать, что

где – плотность распределения СВ X, а – плотность распределения Y.

СВ X называется независимой от СВ Y, если распределение X не зависит от того, какое значение приняло Y. Аналогично определяется независимость Y от X. Свойство независимости случайных величин взаимно. Если величины X и Y независимы, то в этом случае (дискретное распределение) и (непрерывное распределение).

28. Функция одной дискретной св

Пусть дана функция одной переменной с областью определения и некоторая СВ X, все значения которой принадлежат множеству . Тогда, если случайная величина X приняла значение x, будем считать, что новая случайная величина Y приняла значение . Эта новая случайная величина Y наз. функцией случайной величины X, и в этом случае пишут: .

Вопрос состоит в том, каков закон распределения Y, если мы знаем закон распределения X.

Рассмотрим сначала дискретную случайную величину Х с рядом распределения

Событие происходит с вероятностью , с этой же вероятностью Y примет значение . Мы имеем таблицу распределения

Если существует несколько значений , для которых принимает одно и то же значение, то все такие случаи объединяются в один, которому соответствует по теореме сложения вероятность, равная сумме вероятностей объединяемых случаев.