1. Событие. Классификация событий
Событие – любой факт, который в результате опыта может произойти или нет. События обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, …. Например, светит солнце, читаю лекцию, ….
Достоверным наз. событие, которое непременно произойдет при определенной совокупности условий.
Невозможным наз. событие, которое заведомо не произойдет при определенной совокупности условий.
Случайным, наз. событие, которое при определенных условиях может произойти или не произойти.
Два события наз. совместными в данном опыте, если появление одного не исключает появление другого.
Два события наз. несовместными в данном опыте, если они не могут произойти в одном испытании.
Несколько событий наз. несовместными, если они попарно несовместны.
Два события наз. противоположными, если появление одного равносильно не появлению другого. (мужчина – женщина, ночь – день, …)
Множество
событий
наз. полной
группой
событий,
если они попарно несовместны; появление
одного и только одного из них является
достоверным событием. Например, шесть
граней кубика образуют полную группу
событий, дни недели.
События наз. равновозможными, если нет оснований полагать, что одно событие более возможно, чем другое.
Каждое событие, которое может наступить в процессе опыта – элементарный исход.
2. Вероятность события. Свойства вероятности. Классическая вероятность
Для количественного сравнения событий вводится определенная мера, которая наз. вероятностью события. P(A)
Классическое
определение вероятности
,
-
всевозможное число исходов,
-
число благоприятствующих исходов.
Классическое определение вероятности используется в том случае, когда исходы равновозможны и число их конечно.
Свойства вероятности:
Вероятность достоверного события равна единице. Обозначим
- достоверное событие, т.е.
,
.Вероятность невозможного события равна нулю. Обозначим
- невозможное
событие, т.е.
,
.Вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим 1. Поскольку для случайного события
выполняются следующие неравенства
или
,
.Вероятность любого события
удовлетворяет неравенству
.
3. Статистическое определение вероятности
Классическое
определение вероятности предполагает,
что все элементарные исходы равновозможные.
О равновозможности исходов опыта можно
судить, исходя из соображений симметрии
(как в случае монеты или игрального
кубика). Задачи, в которых можно исходить
из соображений симметрии, на практике
встречаются редко. Существует обширный
класс событий, вероятности которых
нельзя вычислить по классической формуле
.
Рассмотрим, например, неправильную,
несимметричную игральную кость. Выпадение
определенной грани уже не будет
характеризоваться вероятностью
;
но, вместе с тем ясно, что для данной
конкретной несимметричной кости
выпадение данной грани обладает некоторой
степенью вероятности, указывающей,
насколько часто в среднем должна
появляться данная грань при многократном
бросании. Очевидно, что вероятности
таких событий, как “попадание в цель
при выстреле”, “пробивание брони
осколком снаряда”, также не могут быть
вычислены по классической схеме. В связи
с этим появилась необходимость введения
еще одного определения вероятности,
наз. статистической.
Чтобы дать это определение, предварительно
вводят понятие относительной
частоты события.
Относительной
частотой события,
или частотой, наз. отношение числа
опытов, в которых появилось это событие,
к числу всех произведенных опытов,
,
где m
– число
появления события
,
n
– число произведенных опытов.
Наблюдения позволили установить, что относительная частота обладает свойствами статистической устойчивости: в различных сериях многочисленных испытаний (в каждом из которых может появиться или не появиться это событие) она принимает значение достаточно близкое к некоторой постоянной. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.
Статистической вероятностью наз. число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний (например, на 1000 новорожденных – 515 мальчики и т.д.).