29. Функция одной непрерывной св

Пусть X - непрерывная СВ с плотностью распределения . Пусть имеется монотонно возрастающая на множестве значений СВ X функция ( - непрерывно дифференцируемая и ). Если множество значений и и ,то функция распределения

.

Здесь – есть плотность распределения СВ .

Для

( - функция, обратная к на сегменте ). Отсюда

Если - монотонно убывающая функция, то для функция распределения имеет вид , а плотность -

30. Корреляционный момент случайных величин X и y и его свойства

Пусть имеется случайный вектор , распределение которого известно, т. е. известна таблица или плотность распределения . Тогда можно найти , . По известному закону распределения можно найти также дисперсии составляющих вектор . Пусть и . Однако математические ожидания и дисперсии СВ X и Y недостаточно полно характеризуют случайный вектор , т. к. не выражают степень зависимости составляющих вектора. Эту роль выполняют корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом случайных величин X и Y наз. математическое ожидание произведения отклонений этих СВ от своих математических ожиданий: .

Если распределение дискретное, то .

При непрерывном распределении .

Корреляционный момент обладает следующими свойствами:

1. – свойство симметричности.

2. Если и независимые случайные величины, то

Обратное, вообще говоря, не имеет места. Если , то в этом случае величины X и Y наз. некоррелированными.

3. . ;

= = =

31. Коэффициент корреляции и его свойства

- Корреляционный момент

Если отклонения случайных величин от их мат. ожиданий заменить их нормированными отклонениями, то получим безмерную величину - коэффициент линейной корреляции:

Свойства коэффициента линейной корреляции вытекают из свойств корреляционного момента:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Если X и Y– независимые СВ, то ;

5. Если , то между X и Y существует линейная зависимость.

Доказательство проведем для случая :

Получили, что математическое ожидание неотрицательной величины равно нулю, сама эта величина - тождественный нуль:

,

что и требовалось доказать.

32. Формула Бернулли

Пусть некоторый опыт воспроизводится раз и каждый раз событие A может наступать с одной и той же вероятностью p и не наступает с вероятностью q=1-p, независимо от результатов предыдущих опытов. В этом случае говорят о повторных независимых испытаниях. При этом событие A может наступать 0, 1, 2, … , , … , раз. Число наступлений события – это СВ. Найдем вероятность, с которой событие A наступит раз. Эту вероятность обычно обозначают символом . Интересующее нас событие – наступление A m раз в n испытаниях, можно разбить на частные случаи, каждый из которых определяется номерами тех испытаний, в которых наступает A. Пусть - это наступление A в i-ом испытании. Набор таких i определяет отдельный случай. Например, ( , ,…, )- это случай, когда A наступило в -ом испытании, затем -ом и т.д., во всех же остальных испытаниях A не наступило. Всех случаев будет столько, сколькими способами мы можем выбрать m натуральных чисел из n (1,2,3,…, n), т. е. число всех случаев – это число сочетаний из n элементов по m - .

Найдем вероятность отдельного случая. Чтобы он наступил, должны наступить события и не наступить события , где j пробегает те числа из 1,2,3,…, n, которые отличны от , ,…, . Так как все указанные события независимы и операция умножения событий коммутативна, то вероятность отдельного случая

где .

Мы видим, что все частные случаи равновозможны, поэтому, применяя теорему сложения для несовместных событий, получаем - формула Бернулли.