8. Теорема умножения вероятностей
Т:Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место
(*)
Докажем теорему умножения для схемы случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к n случаям, которые мы изобразим в виде n точек:
~
~
.
. . . . . . . . . .
~
Предположим,
что событию A
благоприятны m
случаев, а событию
благоприятны k
случаев.
Мы не предполагали, что A
и B
несовместны, следовательно существуют
случаи благоприятные и A
и B
одновременно. Пусть число таких случаев
l.
Тогда
;
Вычислим
P(B/A),
т.е. условную вероятность
в предположении, что A
произошло. Если известно, что событие
A
произошло, то из ранее возможных n
случаев
остаются возможными только те m,
которые благоприятствовали событию A.
Из них l
случаев
благоприятны событию B.
Следовательно
.
Подставляя
полученные выражения
,
и
в (*) получим тождество
.
9. Условная вероятность события
Введем понятия независимых и зависимых событий.
Событие A наз. независимым от события В, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет.
Событие A наз. зависимым от события В, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.
Рассмотрим примеры:
1) Опыт состоит в бросании 2-х монет. Событие A – выпал герб на 1-ой монете; B – выпал герб на второй монете. В данном случае вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет. Событие A независимо от события B
2)
В урне 2 белых шара и 1 черный. Два человека
вынимают из урны по одному шару. Событие
A
- белый шар у первого человека; B
- белый шар у второго человека. Вероятность
A
до того, как известно что-либо о B,
равна
.
Если известно, что B
- произошло, то вероятность A
становится равной
,
из чего следует, что событие A
зависит от события B.
Вероятность
события A,
вычисленная при условии, что имело место
другое событие B,
наз. условной
вероятностью события А,
и обозначается
.
Для
условий последнего примера
;
Условия
независимости события A
от события B
можно записать как
,
условия зависимости
.
10. Следствия из теоремы умножения вероятностей
Следствие 1. Если событие A не зависит от события B, то и событие B не зависит от события A.
Доказательство.
Дано, что A
не зависит от B,
т.е.
(*)
Требуется
доказать, что и событие B
не зависит от события A,
т. е.
При
доказательстве предполагаем, что
.
Напишем теорему вероятностей в двух
формах:
или
принимая во внимание (*)
.
Разделим обе части на
.
Тогда
.
Из этого следствия вытекает, что зависимость и независимость событий всегда взаимны.Дадим другое определение.
Два события наз. независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий. Несколько событий наз. независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.
Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий P(AB)=P(A)P(B).Доказательство непосредственно вытекает из определения независимых событий.
Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так:
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:
Доказательство проводится методом полной индукции. В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:
,
т. е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий или
.
Пример 1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?
- появление двух
белых шаров,
- белый шар при первом вынимании,
- белый шар при втором вынимании;
.
По
теореме
.
Пример 2. Те же условия, но после первого вынимания шар возвращается в урну.
Тогда
.