54. Графическое изображение вариационных рядов

Полигон – диаграмма для изображения дискретного вариационного ряда.

Гистограмма (столбиковая диаграмма) – для изображения вариационных рядов n = 60

Интервалы	6,5-7,5	7,5-8,5	8,5-9,5	9,5-10,5	10,5-1,5
частоты	3	12	23	14	8

Кумулята – диаграмма для изображения кумулятивного ряда.

варианты	17	18	19	20	21	22	23	24
Накопление частоты	1	4	9	17	29	38	43	45

С уществует еще один вид для кумулятивных рядов Огива это кумулята при построении которой горизонтальные и вертикальные оси меняются местами.

55. Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое)

Любой многоэлементный объект, как правило оценивают небольшим числом параметров. Для описания центра статистического явления используется понятие центра распределения.

В статистике используют следующие показатели центра распределения: мода, медиана и среднее арифметическое.

Мода-значение признака, которое в выборке имеет наибольшую частоту.

Варианты	17	18	19	20	21	22	23	24
частоты	1	3	5	8	12	9	5	2

М=21 (мода-21)

Если дискретный признак представлен в виде полигона, то модой является варианта, в которой полигон имеет вершину. Дискретный признак может иметь одну моду, тогда он наз. унимодальным.

Дискретный признак может иметь 2 моды, тогда он наз. бимодальным (полигон имеет 2 вершины). Признак может вообще не иметь моды, в этом случае более 2-х значений имеют одинаковую наибольшую частоту. Если признак непрерывный, то мода вычисляется.

Пусть дан непрерывный признак интервальным рядом вида:

Интерв	6,5-7,5	7,5-8,5	8,5-9,5	9,5-10,5	10,5-11,5
частоты	3	12	23	14	8

Пусть - начало интервала с максимальной частотой . Частота на предыдущем интервале f(-), частота на последующем интервале f(+), тогда

, f(-)=12 , f(+)=14, тогда

Можно найти моду графически по гистограмме :

М едиана-число, которое на числовой оси делит все измеряемые значения признака на 2 равные по кол-ву группы: одни наблюдения не больше этого числа, другие – не меньше. Медиана обозначается буквами Ме. Для дискретных признаков медиана находится по следующим правилам:

Все наблюдения (с повторениями значений, если они есть), выстраивают в порядке возрастания. Вычисляется число Если объем выборки n-число нечетное, то медиана это число под полученным номером в упорядоченной выборке.

n=9 =5 2,5,6,6,8,10,13,14,16, тогда медиана 8

Если объем выборки –число четное, то –это дробное число. За медиана берут полусумму двух соседних значений.

Напр, если выборка 3,5,5,7,10,11,15,17 n=8 =4,5

Для непрерывных признаков медиана считается с помощью интервального и кумулятивного рядов. Пусть дан интервальный вариационный ряд и одновременно построен кумулятивный.

Интерв	6,5-7,5	7,5-8,5	8,5-9,5	9,5-10,5	10,5-11,5
Част	3	12	23	14	8
Накоп част	3	15	38	52	60

n = 60; (n+1)/2 = (60+1)/2 = 30,5

Пусть X₁ –начало интервала с частотой , X₂ –конец этого интервала, f - накопленная частота до [X₁,X₂]

Г рафически медиану можно определить по кумуляте.

Среднее арифметическое (выборочное среднее).

Среднее арифметическое и является осн. мерой в мат. статистике. Если x_1,x_2,…x_n –ряд наблюдений измеряемого признака в выборке объема n, то среднее арифм или выборочное среднее вычисляется по формуле

Если признак является дискретным и построен дискретный вариационный ряд

Варианты	ν1 ν 2… ν k
частоты	m1m2…mk

То

Если для признака построен интервальный вариационный ряд, то среднее ариф вычисляется так же, как и в случае дискретного вариационного ряда, только вместо вариант берутся середины интервалов.

Среднее гармоническое

Формула для вычисления среднего гармонического имеет вид:

Если для дискретного признака построен вариационный ряд

Для интервальных вариационных рядов в качестве вариант берутся середины интервалов.

Среднее геометрическое используется для нахождения средних темпов роста какого-то признака на протяжении нескольких одинаковых промежутков времени. Формула для вычисления ср геом имеет вид

Между рассмотренными средними существует соотношение такое