17. Плотность распределения случайной величины

Пусть имеется непрерывная СВ X с функцией распределения F(x), которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой СВ на участок от до .

,

т.е. вероятность есть приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и устремим x0. В пределе получим производную от функции распределения

Обозначим . (*)

Функция - производная функции распределения, характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (плотностью вероятности) непрерывной СВ X. Иногда называют дифференциальной функцией распределения .

х

Выразим интегральную ф-цию распределения ч-з плотность, так как ,

следовательно .

18. Основные свойства плотности распределения

1. Плотность распределения неотрицательная функция , т.к. - неубывающая функция;

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен 1: , что следует из формул и F(+∞)=1.

3. 

Геометрически св-ва плотности означают след.:

1. вся кривая лежит не ниже оси абсцисс;

2. полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна 1;

3. вероятность того, что случ. точка Х попадет в интервал от х₁ до х₂ = площади заштрих. замкнут трапеции.

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:

1. Найти плотность распределения f(x).

2. Найти вероятность попадания величины X на участок от 0,25 до 0,5.

Решение. Плотность распределения выражается формулой:

19. Математическое ожидание и его свойства

Математическим ожиданием (средним значением) дискретной СВ наз. сумму произведений значений СВ на соответствующие им вероятности.

Математическое ожидание случайной величины X обозначают M(X). Так, если X - случайная величина, то

,

где

Св-ва:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной. Действительно, если X принимает только одно значение С, то вероятность, с которой это значение принимается, равна 1 и .

2. Постоянный коэффициент можно выносить за знак математического ожидания, т.е. .

Если распределение случайной величины X дается как

то распределение случайной величины имеет вид

тогда .

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий.

Доказательство проведем для суммы двух случайных величин X и . Пусть совместное распределение задано таблицей

					…
			…

Тогда

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

.

Здесь мы учли независимость случайных величин и , поэтому можно было заменить на .

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания всегда равно нулю:

Действительно: (здесь использовалось то, что математическое ожидание от постоянной величины равно этой постоянной).