47. Теорема Бернулли
Пусть
комплекс условий S
воспроизводится n
раз и каждый раз событие A
может наступать с одной и той же
вероятностью p
независимо от результатов предыдущих
опытов. Тогда вер-ть того, что отклонение
частости(частоты) от вер-ти p
по модулю меньше ε
стремится к достоверной при неограниченном
возрастании n
Пусть CB - число наступлений события А в i-ом испытании.
хi |
0 |
1 |
pi |
q = 1 - p |
p |
Следовательно, ;
,
Отсюда
видно, что все требования теоремы
Чебышева выполняются. Это зн., что если
сумму
обозначить через m
(число наступлений события А
в n
испытаниях), то по формуле из следствия
к теореме Чебышева
Устремляем
n
к бесконечности и получаем
Теорема Бернулли является теоретическим обоснование для статистического определения вероятности.
выполняется
при больших n
с вероятностью близкой к достоверной,
т.е. можно считать, что практически при
больших n
частота
48. Теорема Ляпунова
Если
X1X2…Xn
– независимые CB,
имеющие один и тот же закон распределения,
с мат ожиданием M(
)=ai
и диспепсией δ(
)=
,
i=1,n
,то при неограниченном росте n→∞
закон распределения суммы эти велич.,
т.е. Y=
неограниченно приближается к нормальному.
Тогда вер-ть того, что СВ Y
попадёт интервал [α,β] определяется
формулой
,
где Ф(Х) – это функция Лапласа.
Согласно
теореме сложения мат. ожид. и дисперсий
Если обозначить
Частным случаем теоремы Ляпунова является теорема Муавра-Лапласа
49. Интегральная теорема Лапласа
Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью p, то справедливо соотношение
,
где Y – число появлений события А в n опытах,
q=1 – p.
Данная
формула значительно упрощается, если
α
меньше, а β больше чем a=np
на постоянную величину l,
т.е. P(-l+np<Y<l+np)=P(|Y-np|<l)=Ф(
)
Частота
события А P*(A)=
является СВ. M(A)=p,
D(A)=
.
Поэтому
на основании предыдущей формулы можно
записать P(
<ε)=Ф(ε
)
Из теоремы вытекает, что СВ m – число наступлений события А в n независимых испытаниях распределена при больших n→∞ приближённо по нормальному закону с мат. ожиданием np и дисперсией npq, где p – вер-ть наступления А в каждом испытании.
50. Виды статистических наблюдений
Для проведения полного и глубокого статистического анализа педагогического явления необходимо информационная база. Формирование информационной базы требует организации статистического наблюдения.
Статистическое наблюдение – научно-организованный сбор массовых данных об исследуемых педагогических процессах и явлениях, организованных по специальной программе.
Статистическая совокупность – множество однородных объектов или явлений, объединенных по какому-то критерию.
В педагогике в качестве совокупности рассматривают группы людей.
Общее число членов совокупности наз. объемом или размером совокупности.
Виды статистических наблюдений:
В зависимости от степени охвата единиц совокупности наблюдения бывают: сплошные и несплошные ( бывают выборочные и монографические).
При выборочном наблюдении обследованию подвергаются часть совокупности. Полученные результаты обобщаются на всю совокупность.
Выборочной статистической совокупностью наз. часть генеральной совокупности, которая подвергается исследованию.При сплошном статистическом исследовании выборка совпадает со всей совокупностью.В зависимости от объема:
малые выборки – не более 30 ед.
средние – от 30 до 100
большие – более 100 членов.
Репрезентативность выборки обеспечивается 3-им способом.
При монографическом наблюдении тщательному наблюдению подвергают отдельные элементы выборки. Цель: дополнить массовое наблюдение.
По времени:
непрерывное наблюдение
единовременное
периодическое
По источнику получения данных:
непосредственное наблюдение – информация в результате наблюдений
документальное
опрос