41. Дисперсия нормального закона распределения

Найдем дисперсию случайной величины X , распределенной по нормальному закону с параметрами и а:

Таким образом, ,

, .

По нормальному закону распределено большое количество случайных величин.

Например, этому закону подчиняется распределение роста 20-ти летнего мужчины, вес женщины, рост которой равен 170 см, дальность полета снаряда, результат измерения длины, массы, времени и т.д.

42. Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины

Функция наз. функцией Лапласа или интегралом вероятности. Она тесно связана с нормальным законом распределения. Ее основные свойства:

1. область определения функции Лапласа – вся числовая ось;

2. функция Лапласа монотонно возрастает на всей числовой прямой;

3. функция - нечетная.

4) .

1

-1

Итак, пусть у нас имеется нормальная СВ с математическим ожиданием a и дисперсией . Тогда функция распределения этой случайной величины

Если , то случайная величина наз. нормированной.

Найдем вероятность того, что случайная величина , распределенная по нормальному закону с параметрами , , примет значение из

Таким образом, .

43. Правило 3σ

Найдем вероятность того, что отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания по модулю меньше некоторого положительного , т.е. найдем вероятность .

Итак: .

Если в этой формуле положить , то получим

.

Отсюда вытекает, что среди 10000 значений нормальной случайной величины в среднем только 27 выйдут за пределы интервала . Это означает, что практически среди небольшого числа значений X нет таких, которые выходят за пределы указанного интервала. В этом и состоит правило «трех сигм», которое широко применяется в статистике.

44. Неравенство Маркова

Теорема. Если CB X может принимать только неотрицательные значения и у нее есть математическое ожидание, то какова бы ни была CB той же размерности, что и X, всегда выполняется неравенство .неравенство Маркова

Доказательство. Пусть - непрерывная случайная величина с плотностью распределения . Из условия теоремы следует, что при и при .

.

Так как , то

Итак, ,

.

45. Неравенство Чебышева

Теорема. Каково бы ни было для любой CB X, дисперсия которой конечна, справедливо неравенство Чебышева .

Доказательство.

Рассмотрим величину .Это не отрицательное СВ

.

Т. обр., к СВ Y, имеющей мат. ожид., можно применить неравенство Маркова

.

Подставим в это неравенство выражение Y через X и

или

46. Теорема Чебышева

Определение. Последовательность чисел наз. равномерно ограниченной, если существует такая постоянная М, что для любого .

Теорема Чебышева Если - последовательность попарно независимых случайных величин, у каждой из которых есть математическое ожидание и дисперсия , , причем дисперсии равномерно ограничены, то для любого положительного

Доказательство.

Последовательность равномерно ограничена, т.е. существует такое М, что для любого натурального . Рассмотрим случайную величину . У этой величины есть математическое ожидание и дисперсия: ,

Здесь мы воспользовались свойством, что если случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

Таким образом, удовлетворяет всем требованиям для применения неравенства Чебышева, а значит, при любом имеем

или

Итак,

Пусть , тогда при любых .

Отсюда , чтд.

Следствие.

Если - последовательность независимых случайных величин, математические ожидания каждой из которых равны , а дисперсии , то неравенство выше и утверждение теоремы принимают вид

( )

Отсюда следует ,

Если точность всех измерений одна и та же, т.е. , i=1,2,…