16.1.) Теорема. Карта g является k-раскрашиваемой тогда и только тогда, когда геометрически двойственный граф g* вершинно k-раскрашиваем.
Поскольку граф G плоский и не имеет мостов, то двойственный граф G* — плоский граф (без петель). Пусть задана некоторая правильная k-раскраска карты G. Построим k-раскраску графа G*, приписав каждой его вершине цвет той грани, в которой находится эта вершина. Так как вершины графа G* смежны тогда и только тогда, когда смежны содержащие их грани, то полученная раскраска оказывается правильной. Аналогичным образом можно перейти от правильной раскраски графа G* к правильной раскраске карты G. Заметим, что существуют плоские графы, которые нельзя раскрасить правильно менее чем четырьмя цветами. Таков, например, граф K4. Согласно теореме Кёнига (G) = 2 для непустого графа G тогда и только тогда, когда он не содержит циклов нечетной длины. Утверждение. Плоский двусвязный граф является бихроматическим тогда и только тогда, когда граница каждой его грани содержит четное число ребер. Достаточно доказать, что плоский двусвязный граф, граница каждой грани которого состоит из четного числа ребер, является двудольным. Рассмотрим произвольный простой цикл C такого графа. Этот цикл делит плоскость на две части — внутреннюю (по отношению к циклу) и внешнюю. Считаем, что сам цикл принадлежит каждой из частей. Пусть внутренняя часть плоскости содержит грани 1, 2,…, k с числом ребер в их границах l1, l2,…, lk соответственно. Так как любое из чисел li четное, то их сумма также четная. Но каждое ребро, не принадлежащее циклу C, входит в эту сумму дважды, откуда следует, что длина цикла C четная. Из теоремы Эйлера следует, что рассматриваемый граф является двудольным. Аналогичное утверждение верно и для односвязных графов, только в этой ситуации каждый мост, входящий в границу грани, учитывается дважды.
16.2.) Пусть r1, r2,…, rm — целые неотрицательные числа и r1 + r2 +…+ rm = n.. Число способов, которыми можно представить множество B из n элементов в виде суммы m множеств A1, A2,…, Am , число элементов в которых соответственно есть r1, r2,…, rm , равно
Числа
называются полиномиальными коэффициентами.
(полиномиальная теорема)
Перемножим
последовательно (a1 + a2 +…+ ak) n раз. Тогда
получим kn слагаемых вида d1d2…dn, где
каждый множитель di равен или a1, или a2,
..., или ak. Обозначим через B(r,…, rk)
совокупность всех тех слагаемых, где
a1 встречается множителем r1 раз, a2 — r2
раз, ..., ak — rk раз. Согласно теореме 11.2,
число таких слагаемых равно
.
БИЛЕТ 17 1.Матрицы, связанные с графами. Изоморфизм графов. 2. Раскраска карт. Бихроматичность карт. |
БИЛЕТ 19 1. Числа Стирлинга второго рода. Второй способ рекуррентного вычисления чисел Стирлинга второго рода. 2. Свойства двойственного графа плоского графа. |
1) Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы смежности можно получить друг из друга одинаковыми перестановками строк и столбцов. Матрица
смежности
– двоичная матрица A(G) размером n х n
(n – число вершин графа), (i, j)-й элемент
которой равен 1, если вершины
Матрица, каждый элемент которой равен 0 или 1, называется бинарной. 2)Связный плоский мультиграф без мостов называется картой. Грани карты, имеющие общее ребро, называются смежными. Функция f, ставящая в соответствие каждой грани Г карты натуральное число f(Г)принадлежат{1, 2, …, k} — цвет грани Г — называется k-раскраской, если цвета смежных граней различны. Карта называется k-раскрашиваемой, если для нее существует k-раскраска. Утверждение 7.8. Плоский двусвязный граф является бихроматическим тогда и только тогда, ко-гда граница каждой его грани содержит четное число ребер. |
1) В комбинаторике числом Стирлинга второго рода из n по k, обозначаемым S(n,k) называется количество неупорядоченных разбиений n-элементного множества на k непустых подмножеств. рекуррентное соотношение: S(n,n) = 1, для n ≥ 0, S(n, k) = S(n – 1, k – 1) + k S(n – 1, k), n > 0 S(n,0) = 0, для n > 0. S(5, 3) = S(4, 2) + 3S(4, 3) = 7 + 3*18 = 25 2) Чтобы для данного плоского графа G построить двойственный G1, необходимо поместить по вершине G1 в каждую грань G (включая внешнюю), а затем, если две грани G в имеют общее ребро, соединить ребром соответствующие им вершины в G1(если грани имеют несколько общих рёбер, соответствующие вершины следует соединить несколькими параллельными рёбрами). В результате всегда получится плоский псевдограф. Плоский граф — граф, уложенный на плоскость. Граф называется планарным, если он изоморфен некоторому плоскому графу. Граф А называется двойственным к планарному графу В, если вершины графа А соответствуют граням графа В, и две вершины графа A соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующие грани графа B имеют хотя бы одно общее ребро. |
БИЛЕТ 18 1. Числа Стирлинга второго рода. Первый способ рекуррентного вычисления чисел Стирлинга второго рода. 2.
Число ребер в планарном графе.
Планарность графов
|
|
1) в 19 тоже самое. 2) Планарный граф — граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения ребер. Граф укладывается на некоторой поверхности, если его можно на ней нарисовать без пересечения ребер. Уложенный граф называется геометрическим, его вершины — это точки плоскости, а ребра — линии на ней. Области, на которые граф разбивает поверхность, называются гранями Граф K5 не планаре; n= 5, m = 10 Поэтому неравенство 3n – 6> m превращается в неверное: 9 > 10. Граф K3,3 не планарен. |
|
и
смежны,
т.е. соединены дугой (или ребром)
,
и равен 0, в противном случае.
и
