Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Дифф_геометрия_пов_3МИ.doc
Скачиваний:
90
Добавлен:
21.12.2018
Размер:
1.29 Mб
Скачать

§3. Поверхности

3.1. Понятие поверхности

ОпределениеЭлементарной поверхностью называется топологический (гомеоморфный) образ плоской области

Определение. Фигура в пространстве называется простой поверхностью, если окрестность каждой её точки является элементарной.

Примеры

Элементарные

поверхности Простые поверхности

Определение. Поверхностью называется любая фигура, которую можно покрыть конечным или счетным множеством элементарных поверхностей.

Способы задания поверхностей

1) Векторное уравнение поверхности

= x + y + z

= (u, v)

2) Параметрическое задание поверхности

x = x(u, v)

y = y(u, v)

z = z(u, v)

3) z = f (x, y) – явное уравнение поверхности

4) F(x, y, z) = 0 – неявное уравнение поверхности

Пример. (xa)2 + (yb)2 + (zc)2 = R2 – неявное уравнение сферы

+ + = 1

cos2u

sin2u

cos2v (cos2u + sin2u)

sin2v

x = a + R cos u cos v

y = b + R sin u cos v

z = c + R sin v

= cos u cos v – параметрическое задание сферы

= sin u cos v

= sin v

3.2. Криволинейные координаты на поверхности

Е

x = x(u, v)

y = y(u, v)

z = z(u, v)

сли в параметрическом уравнении поверхности зафиксировать параметр u = u0, то вектор-функция = (u0, v) зависит только от v, тогда на поверхности получается гладкая линия, которую называют v-линией (v – координатная линия). Аналогично при фиксировании параметра v = v0 получается координатная u-линия u.

В общем случае эти координатные линии покрывают всю поверхность.

Если известны u и v, то из параметрических уравнений можно вычислить координаты точки М(x, y, z), таким образом u и v называют криволинейными координатами точки М поверхности, а u и v – линиями криволинейной системы координат на поверхности. и – направляющие векторы касательных к u и v.

Пример. Параметры u и v на сфере имеют следующий смысл: u – долгота, v – полярное расстояние, отсчитываемое от северного полюса. Линии u = const и v = const представляют собой соответственно параллели и меридианы.

3.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Определение. Поверхность называется регулярной класса С k в точке М0, если в окрестности этой точки её можно задать параметрическими уравнениями x = x(u, v), y = y(uv), z = z(u, v) такими, что они имеют непрерывные частные производные до порядка k включительно, причем и неколлинеарны.

Пусть Ф  R3 – гладкая поверхность, а М0 – некоторая её точка. Говорят, что прямая касается поверхности Ф в точке М0, если она является касательной в точке М0 к некоторой кривой, лежащей в поверхности Ф и проходящей через точку М0.

Теорема. Все прямые, касающиеся поверхности Ф в точке М0, лежат в одной плоскости.

Доказательство следует из того, что направляющий вектор касательной является линейной комбинацией векторов частных производных и .

Определение. Плоскость, в которой лежат все прямые, касающиеся поверхности Ф в точке М0, называется касательной плоскостью.

Пкас = [М0, , ]

Теорема. В каждой точке гладкой поверхности Ф существует и единственная касательная плоскость.

Уравнения касательной плоскости и нормали

1. Параметрическое задание

x = x(u, v) (xu, yu, zu), (xv, yv, zv)

y = y(u, v)

z = z(u, v)

Пкас: ; n:

2. Явное задание Ф: z = f (x, y)

Пкас: ; n:

3. Неявное задание поверхности Ф: F(x, y, z) = 0, М0  Ф

Пкас: F'x (x0, y0, z0) (xx0) + F'y (x0, y0, z0) (yy0) + F'z (x0, y0, z0) (zz0) = 0

n:

Единичный вектор нормали:

Пример: Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

xy3 + z2 = 12 в точке А(1; 2; 2)

F'x = y3 = 8; F'y = 3xy2 = 12; F'z = 2z = 4

(8; 12; 4) || (2; 3; 1)

Пкас: 2(x – 1) + 3(y – 2) + (z – 2) = 0

Пкас: 2x + 3y + z – 10 = 0 n:

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.