- •§3. Поверхности
- •3.1. Понятие поверхности
- •3.2. Криволинейные координаты на поверхности
- •3.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •3.4. Первая квадратичная форма поверхности
- •3.4.1. Угол между кривыми на поверхности
- •3.4.2. Длина дуги кривой на поверхности
- •3.4.3. Площадь области поверхности
- •3.5. Вторая квадратичная форма поверхности
- •3.5.1. Нормальная кривизна кривой на поверхности
- •3.5.2. Классификация точек на поверхности
- •3.5.3. Главные кривизны поверхности
- •3.5.4. Гауссова и средняя кривизны поверхности
- •§ 4. Внутренняя геометрия поверхностей
- •4.1. Изометричные поверхности
- •4.2. Понятие о внутренней геометрии поверхности
- •4.3. Геодезическая кривизна кривой на поверхности
- •4.4. Геодезические линии
4.2. Понятие о внутренней геометрии поверхности
Рассмотрение двух поверхностей, полученных изгибанием, показывает, что многие их свойства одни и те же, хотя формы у поверхностей разные. Поэтому целесообразно изучать такие понятия и факты теории поверхностей, которые не меняются при изгибании.
Определение. Внутренней геометрией поверхности называется совокупность таких её свойств, которые определяются только коэффициентами первой квадратичной формы, то есть не меняются при изгибании.
К внутренней геометрии относятся:
– длины кривых на поверхности;
– углы между кривыми;
– площади областей поверхности;
– гауссова кривизна: K =
LN – M2 = +
Гауссову кривизну можно найти, используя только коэффициенты первой квадратичной формы, таким образом, две поверхности с одинаковой гауссовой кривизной изометричны.
– тип точек на поверхности и др.
4.3. Геодезическая кривизна кривой на поверхности
Пусть Ф – регулярная поверхность, Ф – регулярная кривая, – её естественная параметризация, М – некоторая точка.
– единичный вектор нормали к поверхности.
Определение. Число kg = (, , ) называется геодезической кривизной кривой в точке М.
Геометрический смысл геодезической кривизны: k – вектор кривизны кривой в точке М, геодезическая кривизна кривой – это длина проекции вектора кривизны k на касательную плоскость (с точностью до знака).
Геодезическая кривизна в произвольной параметризации
– параметризация кривой ;
= =; = + => kg =
Пример. Найти геодезическую кривизну винтовой линии u = u0, лежащей на прямом геликоиде x = u cos v, y = sin v, z = bv.
(cos v; sin v; 0), (–u0 sin v; u0 cos v; b)
(; –; )
Пусть t = v => = , = (–u0 cos v; –u0 sin v; 0), || =
kg = = –
4.4. Геодезические линии
Определение. Линия на поверхности называется геодезической, если в каждой её точке геодезическая кривизна равна нулю.
(, , ) = 0 (в любой параметризации)
Свойства геодезической линии
1. Кривая является геодезической тогда и только тогда, когда в каждой её точке, где кривизна k 0, имеет место соотношение || (вектор кривизны коллинеарен нормали).
2. Пусть – линия касания двух поверхностей Ф1 и Ф2. – геодезическая линия для Ф1 тогда и только тогда, когда – геодезическая линия для Ф2.
3. Через каждую точку регулярной поверхности в любом направлении можно провести, причем единственную геодезическую линию.
4. Геодезическими линиями на сфере являются большие окружности и только они.
Пример. Найти геодезические линии на прямом круговом цилиндре:
х = R cos u, y = R sin u, z = v (0 u < 2, – < v < )
(–R sin u, R cos u, 0), (0; 0; 1); (cos u; sin u; 0)
Пусть – параметризация линии, лежащей на цилиндре, то есть u = u(t),
v = v(t).
(–R sin u · ut'; R cos u · ut'; vt');
(–R cos u (ut')2 – R sin u · ; –R sin u · (ut')2 + R cos u · ; )
(, , ) = 0 => ut' – vt' = 0
Решением этого дифференциального уравнения являются: u = at + b, v = ct + d.
Тогда на цилиндре геодезическими линиями будут:
x = R cos(at + b), y = R sin(at + b), z = ct + d – винтовые линии
Теорема (основное свойство геодезической линии). Если точки P и Q геодезической линии на поверхности Ф достаточно близки, дуга М1М2 этой линии является кратчайшей среди дуг всевозможных кривых на Ф с концами P и Q.
Замечание. Требование близости точек P и Q на геодезической линии существенно. Достаточно рассмотреть две дуги большой окружности на сфере с общими концами P и Q, не являющимися диаметрально противоположными точками. Одна из этих дуг является кратчайшей, а другая – нет.