Фрактальная размерность

Расчет любой из фрактальных размерностей аттрактора по временному ряду позволяет оценить (обычно снизу) минимальное число существенных динамических переменных, необходимых для описания наблюдаемых процессов. Численные методы следуют сформулированному определению. Алгоритм получается следующий. Предполагается, что по временному ряду построена -мерная реконструкция и имеется набор векторов .

1. Задаем некоторое , разбиваем область фазового пространства, в которой лежат анализируемые вектора, на кубики со стороной и подсчитываем, сколько кубиков накрывают все известные нам точки. Получаем одно значение .

Здесь необходимо обратить внимание на то, что полное количество кубиков в большом -мерном кубе, содержащем аттрактор, огромным, но подавляющее большинство из них нам не нужно, потому что туда не попадет

ни одной точки . В любом случае не может быть больше числа векторов, т.е. всегда . На самом деле число нужных кубиков еще меньше и можно построить быстрые и эффективные алгоритмы для расчета . Поделим все координаты векторов на и оставим только целую часть, преобразовав вектора в новые вектора . Тогда для всех векторов , попадающих в одну ячейку, полученные вектора будут совпадать. То есть просто будет равно количеству различных векторов .

2. Допустим, что мы вычислили для различных . Теперь по полученным данным необходимо оценить размерность. Оценивание емкости по полученным данным сводится к: поиску «наиболее линейного» участка зависимости от ;

Пример:

Найденные этому алгоритму фрактальные размерности представлены в табл.

Одномерные временные ряды
Газпром	D=
Норникель	D=
Аэрофлот	D=
Лукойл	D=
МТС	D=
Роснефть	D=
РБК	D=
НОВАТЭК	D=
Трехмерные временные ряды
Газпром, Норникель, Аэрофлот	D=2.45
Лукойл, МТС, Роснефть	D=
Газпром, РБК, Новатэк	D=
Модельные системы
Система Магницкого	D=
Система Вайдлиха-Трубецкого	D=

Дробные фрактальные размерности указывают на то что данные временные ряды являются фракталами.

Корреляционная размерность

Корреляционную размерность можно определить из корреляционного интеграла

, где ,

который в свою очередь может быть оценен непосредственно для последовательности точек.

Справедливость приведенного степенного закона ограничена значениями , достаточно малыми по сравнению с размерностью аттрактора. При увеличении величина достигает насыщения (при сравнимых с размерностью аттрактора). С другой стороны, при очень малых значениях число пар точек, расстояние межу которыми не превышает , становится малым (из-за конечного числа точек) и статистика становится бедной. На практике степенной закон выполняется только в ограниченном диапазоне значений (скейлинговом диапазоне), который и может быть использован для определения корреляционной размерности. Пример

Найденные этому алгоритму фрактальные размерности представлены в табл.

Таблица , Корреляционные размерности

Одномерные временные ряды
Газпром	Dc=1.21
Норникель	Dc=1.14
Аэрофлот	Dc=1.48
Лукойл	Dc=1.51
МТС	Dc=1.23
Роснефть	Dc=1.24
РБК	Dc=1.14
НОВАТЭК	Dc=1.27
Трехмерные временные ряды
Газпром, Норникель, Аэрофлот	Dc=
Лукойл, МТС, Роснефть	Dc=
Газпром, РБК, Новатэк	Dc=
Модельные системы
Система Магницкого	Dc=
Система Вайдлиха-Трубецкого	Dc=

R/S анализ

Для нахождения нормированного размаха накопленных сумм посщитаем:

4. Размах накопленных сумм

 

5. Среднеквадратическое отклонение

 

6. Нормированный размах накопленных сумм