64

Оглавление

Оглавление

Оглавление 1

Теоретическая часть 2

1 Фрактальный анализ временных рядов 2

1.1.1 Концепция фрактального рынка 3

1.1.2 Эффективность цены 4

1.1.3 Хаусдорфова размерность 6

1.1.4 Корреляционная размерность 7

1.2 R\S анализ 16

1.4 Зависимость стабильности временных рядов и их фрактальной структуры 18

1.5 Локальный фрактальный анализ и прогнозирование 20

1.6 Показатель Ляпунова 21

2 Реконструкции динамических систем по временным рядам 23

2.1 Теорема Такенса 23

2.2 Реконструкция динамической системы методом задержки 27

2.3 Реконструкция динамической системы с помощью отображений. 28

2.4 Реконструкция дифференциальных уравнений системы методом Магницкого. 30

Практическая часть 33

Временные ряды и системы над которыми проводились исследования 33

Фрактальная размерность 34

Корреляционная размерность 36

Показатель Херста 41

Локальный фрактальный анализ 45

Зависимость стабильности временных рядов и их фрактальной структуры 47

Прогнозирование 55

Показатели Ляпунова 58

Реконструкция динамических систем методом задержки 59

Система Магницкого 59

Реконструкция динамических систем методом отображения 60

Реконструкция СДУ методом Магницкого 63

Теоретическая часть

1 Фрактальный анализ временных рядов

1.1 Фрактальность временных рядов      Важнейшим классом природных фракталов являются хаотические временные ряды, или упорядоченные во времени наблюдения характеристик различных природных, социальных и технологических процессов. Среди них имеются как традиционные (геофизические, экономические, медицинские), так и те, которые стали известными относительно недавно. Эти ряды обычно порождаются сложными нелинейными системами, которые имеют самую различную природу. Однако у всех характер поведения повторяется на разных масштабах. Наиболее популярными их представителями являются финансовые временные ряды (цены акций и курсы валют).

    Самоподобная структура таких рядов известна очень давно. По внешнему виду графика цены акции наблюдатель не может сказать, относятся данные к недельным, дневным или же часовым изменениям. Мандельброт, занимающий совершенно особое место в финансовой науке, имел славу «ниспровергателя основ», вызывая среди экономистов явно неоднозначное к себе отношение. С момента возникновения современной финансовой теории, основанной на концепции общего равновесия, он был одним из главных ее критиков и до конца жизни пытался найти ей приемлемую альтернативу. Однако именно Мандельброт разработал систему понятий, которая при соответствующей модификации, как оказалось, позволяет не только построить эффективный прогноз, но и предложить, видимо, единственное на данный момент эмпирическое обоснование классической теории финансов.

1.1.1 Концепция фрактального рынка

    Основной характеристикой фрактальных структур является фрактальная размерность D, введенная Феликсом Хаусдорфом в 1919 году. Для временных рядов чаще используют индекс Херста H, который связан с фрактальной размерностью соотношением D = 2 – H и является показателем персистентности (способности сохранять определенную тенденцию) временного ряда. Обычно различают три принципиально разных режима, которые могут существовать на рынке: при Н = 0,5 поведение цен описывается моделью случайного блуждания; при Н > 0,5 цены находятся в состоянии тренда (направленного движения вверх или вниз); при H < 0,5 цены находятся в состоянии флэта, или частых колебаний в достаточно узком диапазоне цен.

    Однако для надежного вычисления H (так же как и D) требуется слишком много данных, что исключает возможность использования этих характеристик в качестве показателей, определяющих локальную динамику временного ряда.

    К началу 60-х годов прошлого века эмпирические исследования показали, что сильные изменения цен на рынке происходят значительно чаще, чем предсказывала основная модель эффективного рынка (модель случайного блуждания). Одним из первых, кто подверг концепцию эффективного рынка всесторонней критике, был Мандельброт. Действительно, если корректно вычислить значение показателя H для какой-либо акции, то оно, вероятнее всего, будет отлично от H = 0,5, которое соответствует модели случайного блуждания. Мандельброт нашел все возможные обобщения этой модели, которые могут иметь отношение к реальному поведению цен. Как оказалось, это, с одной стороны, процессы, названные им полетом Леви (Levi flight), а с другой — процессы, которые он назвал обобщенным броуновским движением (Fractional Brownian Motion). Поведение временного ряда, для которого H< >0,5 (достаточно часто наблюдается на реальном рынке), можно обозначить с помощью любого из этих процессов.

    Для описания поведения цен обычно используют концепцию фрактального рынка (Fractal Market Hypothesis, FMH), которую принято рассматривать в качестве альтернативы EMH. Концепция предполагает, что на рынке есть широкий спектр агентов с разными инвестиционными горизонтами и, следовательно, разными предпочтениями. Эти горизонты меняются от нескольких минут для внутридневных трейдеров до нескольких лет для крупных банков и инвестиционных фондов. Устойчивым положением на таком рынке является режим, при котором «средняя доходность не зависит от масштаба, если не считать умножения на соответствующий масштабный коэффициент». Фактически речь идет о целом классе режимов, каждый из которых определяется своим значением показателя H. При этом значение H = 0,5 оказывается одним из многих возможных и, следовательно, равноправным с любым другим значением (0<H<1). Эти и другие близкие соображения стали поводом для серьезных сомнений относительно существования действительного равновесия на фондовом рынке.