6.3. Относительный покой (равновесие) жидкости

Ранее было рассмотрено в основном равновесие жидкости под действием лишь одной массовой силы - ее веса. Этот случай имеет место тогда, когда жидкость покоится в сосуде, неподвижном относительно Земли, а также в сосуде, движущемся равномерно и прямолинейно. Если же сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолинейном движении, то на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем.

При относительном покое свободная поверхность жидкости и прочие поверхности уровня могут существенно отличаться от поверхностей уровня при покое жидкости в неподвижном сосуде, т.е. от горизонтальной плоскости. При определении формы и положения свободной поверхности жидкости, находящейся в относительном покое, следует руководствоваться основным свойством всякой поверхности уровня, которое заключается в следующем: равнодействующая массовых сил всегда действует нормально к поверхности уровня. В самом деле, если бы равнодействующая массовая сила действовала под некоторым углом к поверхности уровня, то касательная составляющая этой силы вызывала бы перемещение частиц жидкости вдоль поверхности уровня. Однако в состоянии относительного покоя отсутствуют какие-либо перемещения частиц жидкости как относительно стенок сосуда, так и друг относительно друга. Следовательно, единственно возможным направлением равнодействующей массовой силы является направление, нормальное к свободной поверхности, а также и к другим поверхностям уровня.

Поверхности уровня не могут между собой пересекаться, иначе по линии пересечения двух таких поверхностей был бы получен ряд точек, давление в которых в одно и тоже время имело бы два разных значения, что невозможно.

Рассмотрим два характерных случая относительного покоя жидкости: в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно и в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью.

Пусть сосуд с жидкостью движется прямолинейно с постоянным ускорением a. В этом случае результирующую массовую силу, действующую на жидкость, найдем как сумму векторов силы инерции, направленной в сторону, обратную ускорению a и силы тяжести (рис. 6.5).

Обозначив вектор равнодействующей массовой силы, отнесенной к единице массы, через , получим

_{, (6.11)}

где и - векторы единичных сил инерции и тяжести.

Для всех частиц рассматриваемого объема жидкости равнодействующие массовые силы параллельны друг другу, а поверхности уровня перпендикулярны к этим силам, поэтому

Рис. 6.5. Силы, действующие при относительном покое

жидкости и прямолинейном равноускоренном

движении сосуда

все поверхности уровня, в том числе свободная поверхность, являются плоскостями, параллельными друг другу. Угол наклона этих плоскостей к горизонту определяется из условия перпендикулярности их к силе .

Для определения положения свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно равноускоренно, необходимо к предыдущему условию добавить уравнение объемов, т.е. нужно знать объем жидкости в сосуде и выразить его через размеры сосуда В, Н и первоначальный уровень жидкости h.

Возьмем, например, около точки М площадку dS, параллельную свободной поверхности, и на этой площадке построим цилиндрический объем с образующей, нормальной к свободной поверхности. Условие равновесия указанного объема жидкости в направлении нормали к свободной поверхности будет иметь вид

, (6.12)

где последний член представляет собой полную массовую силу, действующую на выделенный объем жидкости, а l - расстояние от точки М до свободной поверхности. После сокращения на dS получим

. (6.13)

В частном случае, когда а = 0 и соответственно j = g, формула (6.13) превращается в основное уравнение гидростатики.

То же уравнение (6.13) можно получить интегрированием дифференциального уравнения (6.5). Для этого одну из координатных осей удобнее направить вдоль линии действия результирующей массовой силы j. Приняв такое направление, например, для оси z, будем иметь:

. (6.14)