- •(Механика жидкости и газа)
- •1. Вводные сведения
- •1.1. Предмет механики жидкости и газа
- •1.2. Краткие исторические сведения о развитии науки
- •2. Основные физические свойства
- •2.1. Физическое строение жидкостей и газов
- •2.2. Основные физические свойства: сжимаемость, текучесть, вязкость, теплоемкость, теплопроводность
- •2.3. Гипотеза сплошности
- •2.4. Два режима движения жидкостей и газов
- •2.5. Неньютоновские жидкости
- •2.6. Термические уравнения состояния
- •2.7. Растворимости газов в жидкостях, кипение,
- •2.8. Законы переноса
- •2.9. Требования к рабочим жидкостям
- •3. Основы кинематики сплошных сред
- •3.1. Два метода описания движения жидкостей и газов
- •3.2. Понятие о линиях и трубках тока. Ускорение
- •3.3. Расход элементарной струйки и расход
- •3.4. Уравнение неразрывности (сплошности)
- •3.5. Вихревое и безвихревое (потенциальное) движения
- •4. Силы, действующие в жидкостях
- •4.1. Массовые и поверхностные силы
- •4.2. Напряжения поверхностных сил
- •4.3. Напряженное состояние
- •5. Общие законы и уравнения статики
- •5.1. Уравнения движения в напряжениях
- •5.2. Уравнения гидростатики в форме Эйлера и их интегралы
- •5.3. Напряжения сил вязкости, обобщенная гипотеза Ньютона
- •5.4. Уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости
- •5.5. Примеры аналитических решений уравнений Навье-
- •6. Абсолютный и относительный покой
- •6.1. Основная формула гидростатики
- •6.2. Определение сил давления покоящейся среды
- •6.3. Относительный покой (равновесие) жидкости
- •Следовательно, вместо уравнения (6.5) можно записать:
- •7. Модель идеальной (невязкой) жидкости
- •7.1. Модель идеальной (невязкой) жидкости.
- •7.2. Интегралы уравнения движения жидкости для разных
- •8. Общая интегральная форма уравнений количества движения и момента
- •8.1. Законы сохранения
- •8.2. Закон изменения количества движения
- •8.3. Закон изменения момента количества движения
- •8.4. Силовое воздействие потока на ограничивающие
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
- •9. Подобие гидромеханических процессов
6.2. Определение сил давления покоящейся среды
на плоские и криволинейные стенки
В общем случае на поверхность s, погруженную в жидкость, будет действовать совокупность сил гидростатического давления, которая в соответствии с законами статики твердого тела может быть приведена к одной силе, равной главному вектору сил давления
,
и к одной паре с моментом, равным
.
Найдем величину главного вектора, приложенного к некоторой криволинейной поверхности (рис. 6.3), погруженной в жидкость.
Рис. 6.3. Схема сил, воздействующих
на криволинейную поверхность
Вначале рассмотрим элементарную силу , действующую на площадку ds. Очевидно, сила будет направлена по нормали к площадке ds и равна
.
Проекции этой силы на оси х, у и z (рис. 6.3) представляют собой горизонтальные и вертикальную составляющие, величины которых соответственно равны
;
;
.
так как проекциями орта нормали на оси координат являются косинусы углов между нормалью и соответствующей осью координат.
Из рис. 6.3 видно, что
; (6.8)
Тогда составляющие силы давления, действующей на площадку ds, можно представить в виде
;
;
.
Если воспользоваться формулой (6.7) и пренебречь атмосферным давлением, то последние зависимости примут вид
;
;
.
Напомним, что индекс у буквы s означает проекцию площадки ds на плоскость, перпендикулярную соответствующей оси.
Компоненты сил давления на всю рассматриваемую криволинейную поверхность, погруженную в жидкость, будут равны
(6.9)
где U - объем жидкости, заключенный между рассматриваемой криволинейной поверхностью и поверхностью жидкости.
На рис. 6.3 этот объем ограничен поверхностью AA'BB'CC'. Таким образом, вертикальная составляющая суммарного давления жидкости на криволинейную стенку равняется весу жидкости в объеме цилиндрической поверхности с вертикальными образующими, ограниченной снизу криволинейной стенкой и сверху поверхностью жидкости.
Горизонтальные составляющие суммарной силы давления на криволинейную стенку, как видно из формул, тоже определяются через веса некоторых объемов.
Главный вектор сил давления на стенку по величине равен
.
Точка приложения главного вектора, называемая центром давления, определяется для криволинейной стенки довольно сложно.
Найдем главный вектор и центр давления для плоской стенки s, расположенной под некоторым углом к горизонту (рис. 6.4).
Рис. 6.4. Главный вектор и центр давления
для плоской стенки
Для этого проведем плоскость Q, включающую стенку s, до ее пересечения с поверхностью жидкости и расположим две системы координат, имеющих общее начало в точке О, так, чтобы плоскость хОу одной системы лежала на поверхности жидкости, а плоскость системы x'Oy' совпадала с плоскостью Q. Если оси у и у' совместим с прямой, образованной от пересечения плоскости Q с поверхностью жидкости, то угол между осями х и x' будет равен углу наклона плоскости стенки. Ось z' будет нормалью к Q и s. Тогда в соответствии с выражениями (6.8) получим
;
;
.
Откуда величина главного вектора будет равна
.
Последний интеграл равен площади стенки s, умноженной на координату центра инерции или центра тяжести этой площадки. Следовательно, окончательно получим
. (6.10)
Так как , то .
Это означает, что сила давления жидкости на плоскую стенку определяется весом цилиндрического столба этой жидкости с площадью основания, равной площади стенки, и высотой от поверхности до центра тяжести стенки. Если воспользоваться последней формулой, то следует, что главный вектор сил давления на плоскую стенку по величине равен произведению гидростатического давления в центре тяжести стенки на ее площадь.
Точка приложения главного вектора, называемая центром давления, в общем случае не совпадающая с центром тяжести, может быть определена на основании законов статики твердого тела. Известно, что момент главного вектора системы сил равен сумме моментов составляющих сил, т.е. если обозначим координаты центра давления и , то уравнения моментов относительно осей координат будут
;
;
.
Из системы этих трех уравнений можно найти три неизвестные величины: и .
Нетрудно показать, что центр давления расположен ниже центра тяжести. Если в последнем соотношении заменим р по формуле (6.10) и разделим обе части на , то получим
.
Как известно, интеграл, стоящий в правой части, называется моментом инерции площади относительно оси Оу. Если представить соответствующий момент инерции относительно параллельной этой оси прямой, проходящей через центр тяжести, в виде и вспомнить, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции, меньше момента инерции относительно любой другой параллельной оси, то можно написать неравенство
.
Сократив обе части неравенства на , окончательно получим .