5.4. Уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости

Рассмотрим изотермическое движение вязкой несжимаемой жидкости. В этом случае плотность и вязкость будут величинами постоянными.

Подставим выражения компонент напряжений в соответствии с формулами (5.33) - (5.35) и (5.42) в уравнения в напряжениях (5.11) и, учитывая, что для несжимаемой жидкости

, (5.43)

получим уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости. Так, для проекции на ось х найдем

(5.44)

Проделав аналогичные преобразования с двумя другими уравнениями (5.11), будем иметь систему уравнений

(5.45)

где - оператор Лапласа.

Уравнения (5.43) и (5.45) представляют собой замкнутую систему с четырьмя неизвестными и р. Величины и , а также проекции массовых сил X, У и Z должны быть заданы.

Вспоминая выражение для ускорения (3.10), видим, что уравнения (5.45) представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. В векторной форме они имеют вид

, (5.46)

где - вектор с проекциями и .

Уравнения (5.45) впервые были получены в 1845 г. Сто-ксом и поэтому часто называются уравнениями Стокса.

Для решения системы (5.45) следует задать граничные условия. При наличии же локальных составляющих ускорения, т.е. в нестационарном потоке, необходимы и начальные условия.

Начальные условия ставятся так же, как и для идеальной жидкости, в виде распределения скоростей во всей рассматриваемой области в момент времени , т.е. задается вид функций

.

Граничные условия как с математической, так и чисто физической стороны имеют весьма важное значение. Различие между движением идеальной и реальной жидкостями определяется не только различием самих уравнений, но и видом граничных условий. Обычно граничные условия задаются на поверхности обтекаемого тела и на бесконечности, в невозмущенной жидкости. На бесконечности, как правило, считают известными величины скорости и давления, а для внутренней задачи - расход жидкости.

Вид граничных условий на поверхности зависит от того, движется ли тело в потоке или тело неподвижно, а поток на него набегает. Рассмотрим отдельно значение нормальной и касательной составляющих скоростей на поверхности обтекаемого тела.

Граничные условия для нормальной составляющей определяются непроницаемостью твердой стенки. Так как через твердую стенку тела жидкость не перетекает, то эту стенку можно считать нулевой линией тока при движении как идеальной, так и реальной жидкостей. Отсутствие перетекания через линию или поверхность тока и есть граничное условие для нормальной составляющей скорости.

Граничное условие для касательной составляющей определяется из условий прилипания к стенке частиц жидкости или газа вследствие наличия вязкости, т.е. скорость жидкости на поверхности неподвижного обтекаемого тела должна равняться нулю, а для движущегося тела она должна быть равна скоростям соответствующих точек движущейся поверхности.

Для разреженных газов длина свободного пробега молекулы l не очень мала по сравнению с характерным размером b обтекаемого тела, т.е. , что наблюдается в некоторых вакуумных установках и в атмосфере на высоте 100 - 140 км. В этом случае, на поверхности тел происходит не полное прилипание, а течение со скольжением. Следовательно, граничные условия для касательной составляющей будут другие.

Часто тип граничных условий для любого уравнения в частных производных, называют именами известных ученых: Дирихле, Неймана или Робина. Условие Дирихле соответству ет случаю, когда на границе замкнутой области задано значение искомой функции, т.е. и = f. Если на границе замкнутой области задано значение не самой искомой функции, а лишь ее производной по нормали, т.е. ди1дп= f , то такое граничное условие называют условием Неймана. Смешанные граничные условия Дирихле и Неймана в виде ди / дп + ku = f , где k > 0, носят название граничного условия Робина.