Глава 3. Условная вероятность.

Рассмотрим события А и В, связанные с одним и тем же опытом. Пусть из каких-то источников нам стало известно, что событие В наступило, но неизвестно, какой конкретно из элементарных исходов, составляющих событие В произошел. Что можно сказать в этом случае о вероятности события А?

Вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В произошло, принято называть условной вероятностью и обозначать Р(А|В).

Понятие условной вероятности играет важнейшую роль в современной теории вероятностей. Условная вероятность позволяет учитывать дополнительную информацию при определении вероятности события. В ряде случаев с помощью условной вероятности можно существенно упростить вычисление вероятности. Понятию условной вероятности и посвящена настоящая глава.

3.1 Условная вероятность.

Предположим сначала, что мы находимся в рамках классической системы. Пусть событиям А и В благоприятствуют N_A и N_B элементарных исходов соответственно. Посмотрим, что дает нам имеющаяся информация о событии В. Поскольку событие В произошло, то достоверно известно, что в результате опыта появился один из N_B элементарных исходов, составляющих событие В. Значит, теперь уже при определении степени возможности события А необходимо выбирать только из N_B возможных исходов, причем событию А благоприятствуют N_АВ исходов, при которых происходят и событие А, и событие В, или, другими словами, происходит событие АВ. При этом по-прежнему будем считать все N_B входящих в событие В исходов равновероятными. Поэтому условную вероятность Р(A|B) события А при условии события В в рамках классической схемы вероятности естественно определить как отношение числа N_АВ исходов, благоприятствующих совместному осуществлению событий А и В, к числу N_B исходов, благоприятствующих событию В, т.е.

. (*)

При Р(В)=0 условная вероятность Р(А|B) не определена. Формула (*), по существу, сводит вопрос о вычислении условной вероятности к вычислению двух безусловных вероятностей, определенных в заданном вероятностном пространстве.

Решение типовой задачи.

Задача 1. Из урны, содержащей 3 белых и 7 красных шаров, наудачу последовательно и без возвращения извлекаются два шара. События А={первый шар белый}, В={второй шар белый}, С={по крайней мере один из вынутых шаров белый}. Вычислить вероятности Р(В|A), P(A|B), P(A|C).

Решение. Для вычисления искомых условных вероятностей воспользуемся формулой (*). Занумеруем белые шары цифрами 1,2,3, а красные – 4,5,…,10. Согласно описанию эксперимента имеем следующую схему: выбор наудачу, без возвращения пары чисел из множества {1,2,…,10} с упорядочиванием, поэтому множество элементарных исходов можно записать в виде

.

Отсюда следует, что , для всех допустимых значений i и j.

Подмножества, соответствующие событиям А и В, имеют следующий состав:

,

,

причем, как нетрудно подсчитать, N(A) = 3*9, N(B) = 9*3,

, .

Событию АВ соответствует подмножество

,

следовательно, N(AB) = 3*2,

.

По формуле (*) отсюда находим

, .

Далее, по формуле классической вероятности

.

Для вычисления вероятности произведения АС заметим, что АВА, поэтому АС=А(А+В)=А+АВ=А. Отсюда

.

Наконец, используя формулу (*), получаем

.